Equations de droites

EQUATIONS DE DROITES
Résoudre un système par combinaison linéaire
Pour résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues existe deux
méthodes : par substitution et par combinaison linéaire.
Il est possible de « panacher » les deux méthodes et de calculer l’autre inconnue par substitution
une fois que la première a été trouvée par combinaison linéaire.
La méthode par combinaison linéaire, vise à additionner membre à membre deux équations
afin d’obtenir une équation du premier degré à une seule variable. Pour cela on multiplie
membre à membre les égalités de façon à ce qu’au moment de l’addition les coefficients de
l’autre variable s’annulent.
ax + by + c = 0
va-t-on multiplier la première
 a’x + b’y + c = 0
équation par b’ et la seconde par –b (bien sur b et b’ ne doivent pas être nuls)
 ab'x + bb'y + b'c = 0
On obtient alors le système : 
.
 –a’bx – bb’y – b'c = 0
En additionnant membre à membre les deux égalités les y vont s’annuler et on n’aura plus
qu’une équation du premier degré en x.
On repart de l’équation initiale et on multiplie la première équation par a’ et la seconde par –a
pour calculer y.
Ainsi pour calculer

x dans le système,
Remarque : les multiplications proposées peuvent toujours être faites mais il existe souvent des multiplications qui
donnent des calculs plus simples.
Exemple par combinaison linéaire
 2x – y + 3 = 0

 x + 3y – 2 = 0
×3
×–2
 6x – 3y + 9 = 0
⊕

x + 3y – 2 = 0
7x
+7 =0
x = –1
2x – y + 3 = 0
 –2x – 6y + 4 = 0
–7y + 7 = 0
y=1

⊕
S = {(–1 ; 1)}
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Exercice 1
Résoudre le système suivant :
 x + 3y = 15

 2x + y = 10
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Exercice 2
Résoudre le système suivant :
 –6x + 6y – 5 = 0

 4x – y + 5 = 0
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Résoudre un système par combinaison linéaire
Corrigé 1
 x + 3y = 15

 2x + y = 10
×–2
×–3
 –2x – 6y = –30
⊕

2x + y = 10
–5 y = –20
y=4

⊕
x + 3y = 15
 –6x – 3y = –30
–5x
= –15
x =3
S = {(3 ; 4)}
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Résoudre un système par combinaison linéaire
Corrigé 2
 –6x + 6y – 5 = 0
×4

×6 ×6
 4x – y + 5 = 0
 –6x + 6y – 5 = 0

 24x – 6y + 30 = 0
18x
+ 25 = 0
x = –25/18
 –24x + 24y – 20 = 0

 24x – 6y + 30 = 0
18y + 10 = 0
y = –10/18
y = –5/9
S = {–25/18 ; –5/9}
Remarque : les multiplications ×4 ×6 peuvent être remplacées par des multiplications ×2 ×3,
le résultat sera déjà simplifié.
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