Fonctions du second degré

FONCTIONS DU SECOND DEGRE
Justifier un extrémum minimum ou maximum
Définition :
M est le maximum d’une fonction
f si et seulement si pour tout x, f(x) ≤ M.
Définition :
m est le minimum d’une fonction f si et seulement si pour tout x, f(x) ≥ m.
Pour justifier que M est un maximum il faudra donc montrer que pour tout
même pour un minimum.
x, f(x) ≤ M. De
Exemple 1 :
Montrer que 3 est un maximum pour la fonction f définie sur IR par f(x) = –x² + 4x – 1.
Il faut donc montrer que pour tout x, f(x) ≤ 3.
Donc –x² + 4x – 1 ≤ 3, soit –x² + 4x – 4 ≤ 0 ou – (x² – 4x + 4) ≤ 0.
On reconnait une égalité remarquable et x² – 4x + 4 = (x – 2)²
(x – 2)² est un carré donc toujours positif, donc –(x – 2)² est négatif pour tout x.
Donc 3 est un maximum pour la fonction f définie sur IR par f(x) = –x² + 4x – 1.
Exemple 2 :
Montrer que 1 est un minimum pour la fonction g définie sur IR par g(x) = 3x² + 6x + 4.
Il faut donc montrer que pour tout x, g(x) ≥ 1.
Donc 3x² + 6x + 4 ≥ 1 , soit 3x² + 6x + 3 ≥ 0 ou 3(x² + 2x + 1) ≥ 0.
On reconnait une égalité remarquable et x² + 2x + 1 = (x + 1)²
(x + 1)² est un carré donc toujours positif, donc 3(x + 1)² est positif pour tout x.
Donc 1 est un minimum pour la fonction g définie sur IR par g(x) = 3x² + 6x + 4.
Remarque dans tous les cas on est amené à factoriser avec une égalité remarquable.
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Justifier un extrémum minimum ou maximum
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Exercice 1
Montrer que –4 est un minimum pour la fonction
g définie sur IR par g(x) = 2x² – 4x – 2.
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Exercice 2
Montrer que –1 est un maximum pour la fonction
f définie sur IR par f(x) = –2x² – 4x – 3.
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Justifier un extrémum minimum ou maximum
Corrigé 1
Montrer que –4 est un minimum pour la fonction
g définie sur IR par g(x) = 2x² – 4x – 2.
Il faut donc montrer que pour tout x, g(x) ≥ –4.
Donc 2x² – 4x – 2 ≥ –4 , soit 2x² – 4x + 2 ≥ 0 ou 2(x² – 2x + 1) ≥ 0.
On reconnait une égalité remarquable et x² – 2x + 1 = (x – 1)²
(x – 1)² est un carré donc toujours positif, donc 2(x – 1)² est positif pour tout x.
Donc –4 est un minimum pour la fonction g définie sur IR par g(x) = 2x² – 4x – 2.
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Justifier un extrémum minimum ou maximum
Corrigé 2
Montrer que –1 est un maximum pour la fonction f définie sur IR par f(x) = –2x² – 4x – 3.
Il faut donc montrer que pour tout x, f(x) ≤ 3.
Donc –2x² – 4x – 3 ≤ –1, soit –2x² – 4x – 2 ≤ 0 ou –2(x² + 2x + 1) ≤ 0.
On reconnait une égalité remarquable et x² + 2x + 1 = (x + 1)²
(x + 1)² est un carré donc toujours positif, donc –2(x + 1)² est négatif pour tout x.
Donc –1 est un maximum pour la fonction f définie sur IR par f(x) = –2x² – 4x – 3
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