FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
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FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
Lycée Blaise Pascal TSI 1 année F ICHE : L IMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles ln x −−−−−→ 0 x x→+∞ ln (x) −−−→ 1 x − 1 x→1 x ln x −−−−−→ 0 x→0+ ex −−−−−→ +∞ x x→+∞ ln (1 + u n ) xe x −−−−−→ 0 x→−∞ ∼ n→+∞ £ u ¤ e n −1 un ln (1 + x) −−−→ 1 x→0 x ∼ n→+∞ αu n (α ∈ R∗ ). Comparaison des fonctions usuelles • En +∞ : (ln x)α = De manière plus générale o x→+∞ ³ xβ ´ xβ = et x→+∞ ¡ γx ¢ e µ ¶ o • En 0 et −∞ : −−−−−→ 0 et x α |ln x|β −−−→ 0 et xβ ¤ £ (1 + u n )α − 1 un Soient α, β et γ des réels strictement positifs. ex − 1 −−−→ 1 x→0 x Soient α, β et γ des réels strictement positifs. • En +∞ : (ln x)α ∼ n→+∞ x→+∞ µ 1 x→0 x α |ln x|β = o e γx ¶ e γx = et 1 x→−∞ |x|α o −−−−−→ +∞ x β x→+∞ • En 0 et −∞ : Équivalents classiques pour les fonctions en 0 x→0 |x|α e γx −−−−−→ 0 x→−∞ ex − 1 ∼ x ln (1 + x) ∼ x x→0 Suite géométrique sin x ∼ x tan x ∼ x x→0 diverge si a ∈ ]−∞,−1] 0 si a ∈ ]−1,1[ n a −−−−−−→ n→+∞ 1 si a = 1 +∞ si a ∈ ]1,+∞[ arcsin x ∼ x x→0 sh x ∼ x x→0 Comparaison des suites de référence x→0 argshx ∼ x x→0 x2 2 th x ∼ x x→0 arctan x ∼ x x→0 cos x − 1 ∼ − x→0 argthx ∼ x x→0 ch x − 1 ∼ x2 x→0 2 x→0 (1 + x)α − 1 ∼ αx (α ∈ R) x→0 De manière plus générale Soient a > 1, α > 0 et β > 0 alors : Si f (x) −−−−→ 0 alors : x→a (ln n)α = o n→+∞ ³ ´ nβ nβ = o n→+∞ an = ¡ n¢ a o n→+∞ (n!) Si u n −−−−−−→ 0 alors : n→+∞ ∼ n→+∞ un tan u n ∼ n→+∞ un [1 − cos u n ] x→a ¢2 ¡ ¢ ¡ f (x) cos f (x) − 1 ∼ − x→a 2 Équivalents classiques pour les suites sin u n ¡ ¢ ln 1 + f (x) ∼ f (x) 2 un ∼ n→+∞ 2 ¡ ¢ sin f (x) ∼ f (x) ¡ ¢ tan f (x) ∼ f (x) x→a e f (x) − 1 ∼ f (x) x→a x→a ¡ 1 + f (x) ¢α − 1 ∼ α f (x) x→a (α ∈ R)