Circuit RC parallèle

Chapitre 4 – Exercice 10
Circuit RC parallèle
1. Les conditions initiales sont d’une part q(0) = 0 et donc uC (0) = 0 , d’autre part iR (0) = ue (0)/R = um /R .
2. La loi des nœuds appliquée au circuit donne :
i=
uC
d uC
+C
R
dt
avec uC = ue − Ri
d’où
t
d uC
+ 2uC = um cos(vt)
dt
en posant
t = RC
Recherchons une solution particulière de la forme a cos(vt)+b sin(vt) . En injectant cette dernière dans l’équation
différentielle, on obtient :
−tva sin(vt) + vtb cos(vt) + 2a cos(vt) + 2b sin(vt) = um cos(vt)
Il vient, en identifiant les termes en sinus et cosinus :
−vta + 2b = 0
et vtb + 2a = um
d’où a = um
2
4 + (vt)2
et
b = um
vt
4 + (vt)2
La tension aux bornes du condensateur évolue comme :
2
vt
2t
uC (t) = A exp −
cos(vt) + um
sin(vt)
+ um
t
4 + (vt)2
4 + (vt)2
En tenant compte de la condition initiale uC (0) = um , on trouve finalement :
2
2t
2
vt
+ um
cos(vt) + um
sin(vt)
exp
−
uC (t) = um 1 −
4 + (vt)2
t
4 + (vt)2
4 + (vt)2
3. Les constantes de temps sont t/2 = 0, 5 ms et T = 0, 5 ms . Le circuit étant du premier ordre, le régime
transitoire dure environ 3t/2 = 1, 5 ms , soit trois périodes de la source.