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Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques L1 LIM10 2011-2012 Devoir maison à rendre pour le 15/05/12 Exercice 1. a) Montrer que l’équation tan(x) = x admet une unique solution un dans l’intervalle In =] − π2 + nπ; π2 + nπ[ et donner un équivalent simple de un . b) Soit xn = π2 + nπ − un (distance du bord droit de l’intervalle In à la solution un ). 1 Exprimer tan(xn ) en fonction de un et en déduire que xn ∼ nπ . n→∞ Solution de l’exercice 1. a) On étudie sur l’intervalle In la fonction f (x) = tan(x) − x. On montre qu’elle est continue, strictement croissante (f 0 (x) = tan2 (x) > 0 si x 6= 0). Elle réalise donc une bijection de In sur son image R (après calcul des limites). Comme 0 ∈ R l’équation f (x) = 0 admet une unique solution, ce qui permet de conclure. On a π π − + nπ ≤ un ≤ + nπ 2 2 un π π +1≤ ≤ +1 − 2nπ nπ 2nπ On a donc par le théorème d’encadrement limn→∞ un nπ = 1 soit un ∼ nπ. b) On a tan(xn ) = tan π 2 − un π 2 π 2 sin = cos − un 1 1 cos(un ) = = = sin(un ) tan(un ) un − un 1 Ainsi tan(xn ) ∼ nπ . On peut remarquer que un > nπ (car f (nπ) < 0) et donc 0 ≤ π xn < 2 . On a donc xn = arctan(tan(xn )) et donc par composition limn→∞ xn = 0. Or, lorsque u → 0, tan(u) ∼ u, donc xn ∼ tan(xn ) ∼ 1 nπ Exercice 2. a) Quel est le reste de la division euclidienne de X n + 1 par X 2 − 1 ? b) Soit a un réel fixé. Donner la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans R[X] de P (X) = X 2n − 2X n cos(a) + 1 Solution de l’exercice 2. a) Le reste est de degré 2 et s’écrit aX + b. En évaluant l’écriture de la division euclin n et a = 1−(−1) dienne en 1 et -1, racines de X 2 − 1 on obtient b = 3+(−1) 2 2 1 b) On obtient P (X) = n−1 Y 2 X − 2X cos k=0 a 2kπ + n n +1 après avoir cherché les racines en passant par un polynôme bicarré, et en ayant regroupé les facteurs irréductibles astucieusement 2 par 2. Exercice 3. a) Soit (p, q) ∈ N2 . Calculer Z 2π Ip,q = eipx e−iqx dx , 0 Z 2π cos px sin qxdx , Kp,q = cos px cos qxdx, 0 Z 2π sin px sin qxdx. Lp,q = 0 0 Z 2π Z Jp,q = 1 dx pour n ≥ 1. Trouver une relation de récurrence sur In . 3 n 0 (1 + x ) c) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , b) Soit In = n X (2n+1 − 1) Cnk = k+1 n+1 k=0 Indication : on écrira 1 k+1 comme une intégrale faisant intervenir xk Solution de l’exercice 3. a) Le calcul de Ip,q est immédiat : Ip,q = 2πδpq . Les formules d’Euler permettent d’en déduire Jp,q = πδ|p|,[q| , Kp,q = 0 et Lp,q = π(δp,−q − δp,q ). 1 b) Une intégration par parties donne 3nIn+1 = (3n − 1)In + n . 2 Z 1 1 c) Il suffit d’utiliser = xk dx puis le binôme de Newton. k+1 0 2