TD 4. Calculs des primitives et des intégrales.

Université de Tours
L1 Mathématiques
Année 2014-2015
Analyse
TD 4. Calculs des primitives et des intégrales.
Exercice 0
1) Rappeler les primitives des fonctions suivantes dans leur ensemble de définition :
xα , α 6= −1 ;
1
;
1 + x2
1
;
x
1
;
−√
1 − x2
sin x ;
cos x ;
1
√
;
1 − x2
1 + (tan x)2 ;
2) Soit f : R → R une fonction C 1 (R) calculer :
Z
Z 0
α
f (x)
0
dx ;
f (x) f (x) dx , α 6= −1 ;
f (x)
Z
ax , a > 0 ;
1
.
(cos x)2
0
f (x) sin f (x) dx ;
Z
f 0 (x) cos f (x) dx ;
f 0 (x)
dx.
1 + (f (x))2
Z
3) Rappeler la regle d’intégration par changement de variable et calculer : tan x dx.
Z
4) Rappeler la regle d’intégration par partie et calculer : ln x dx.
Z
ef (x) f 0 (x) dx ;
Z
f 0 (x)
dx ;
(cos(f (x))2
ex ;
Exercice 1
Calculer dans leur ensemble de définition :
Z
Z
1
√
sin(ax) dx , a ∈ R ;
dx , a, b ∈ R ;
bx + a
Z
Z
1
x
dx ;
dx ;
1 + sin x
1+x
Z
Z
sin2 (x) dx ;
x2 sin x dx ;
Z
Z
Z
Z
√
1
dx , a > 0 ;
a2 − x2
Z
1
dx ;
2
x + 2x + 2
Z
cos3 (x) dx ;
Z
ln x
dx ;
x
ln x
2
dx ;
x2 ex dx .
Exercice 2
En précisant chaque fois le domaine d’intégration, calculer les primitives des fractions rationnelles
suivantes :
Z
Z
Z
Z
Z
2x
x+2
dx
dx
3x + 1
a)
dx ,
b)
dx ,
c)
,
d)
,
e)
dx .
2
2
2
x+1
x − 3x − 4
x(x − 1)
x −1
(x − 2)(x + 3)
1
Exercice 3
Calculer à l’aide d’une intégration par partie :
Z e
Z 1
x2 ln x dx ;
(2x + 1)e−x dx ;
1
π
Z
0
Z
ex sin x dx ;
1
x arctan x dx .
0
0
Exercice 4
Calculer en effectuant le changement de variable indiqué :
Z 8√
Z 1√
√
1+x
1−x
√
dx (x = cos t) ;
dx ( 1 + x = t) ;
x
1+x
1
0
Z
π/2 √
1 + cos x dx (cos x = t) .
0
Pour vous entraîner.
Exercice 5
Calculer dans leur ensemble de définition :
Z
Z
x
2
√
cos (ax) dx , a ∈ R ;
dx ;
2 − 3x2
Z
Z
1
dx ;
1 + exp(x)
Z
1
dx ;
1 + tan(x)
Z
Z
6x
cos(2x)e
x
√
dx , a > 0 ;
a − x2
Z
3x
dx ;
1 + 2x
Z
x3
dx ;
x2 + 1
Z
x3 cos(x) dx ;
Z
sin4 (x) dx ;
Z
xe2x dx ;
Z
dx
;
3 + e−x
Z
dx
p
dx .
x 1 − ln2 x
Z
dx ;
Exercice 6
Calculer
Z 3
ln(x2 − x) dx ;
2
Z
Z
arctan(x) dx ;
Z
1p
4−
x2 dx
Z
;
√
exp(− x) dx ;
1
Z
1
4
ln x
√ dx ;
x
Z
0
sin(3x) cos(4x) dx ;
Z
0
4
√
x
√ dx ;
1+ x
Z
0
(Extrait du sujet de Mai 2008)
1
1) Calculer la primitive de 2
.
x + 2x + 2
Exercice 7
2) A l’aide d’un changement de variable, en déduire la valeur de l’intégrale
Z 3
2π
cos x
dx.
2
sin x + 2 sin x + 2
0
2
π/2
1 + sin x dx ;
0
0
4
π/2 √
1
dx ;
x ln(x)
π2
cos x
p
dx
1 + sin2 x
√
sin( x) dx .