Propriétés des TF et TL

UPMC, L3 PSVP
LP342 Mesures Physiques
2007-2008
Principales propriétés de la TL et de la TF
Transformée de Laplace (1)
//
dualité
linéarité
translation
modulation
TL[a ! x (t ) + b ! y (t )] = a ! X L ( p ) + b ! Y L ( p )
Transformée de Fourier (2)
TF[x(t)] = X(ω) ⇒ TF[X(t)] = x(–ω)
TF [a " x (t ) + b " y (t )] = a " X ( !) + b " Y ( !)
TL[ x (t ! t0 )] = X L ( p ) " e ! pt 0
TF [ x (t " t 0 )] = X ( !) # e " j!t0
TL[ x (t ) " e p0t ] = X L ( p ! p 0 )
TF [ x (t ) # e j!0t ] = X ( ! " !0 )
TL[x(t) ⋅ cos(ω0t)] = [XL(p+p0) + XL (p–p0)] /2
TF[x(t) ⋅ cos(ω0t)] = [X(ω+ω0) + X(ω–ω0)] /2
TL[x(t) ⋅ sin(ω0t)] = j [XL (p+p0) – XL (p–p0)] /2 TF[x(t) ⋅ sin(ω0t)] = j [X(ω+ω0) – X(ω–ω0)] /2
changement
d’échelle
conjugaison
théorème de
Parseval (3)
TL[ x ( at )] =
1
! X L ( p / a)
a
TF [ x ( at )] =
TF [ x (t )] = X ( " j!)
TL[ x (t )] = X L ( p )
//
1
" X (! / a )
a
"
!
#"
1
x (t ) dt =
2%
"
2
! X ($)
2
d$
#"
Remarque :
Certaines formulations sont valables au sens des fonctions (a.s.d.f.) et d’autres au sens des distributions
(a.s.d.d.).
Notes :
(1)
et (2) : on suppose x (t ) continue par morceaux. Les conditions d’existence de la TL et de la TF a.s.d.f. sont alors :
(1)
si x (t ) ! L1loc ( R ) et qu’il existe ! = ]a, b[ tel que pour Ré ( p ) " ! on ait :
+!
"
x (t )e # pt dt < ! , alors la TL de x (t )
#!
existe
(2)
si x (t ) ! L1 ( R ) , alors 0 est contenu dans ! et la TF peut se déduire de la TL, avec p = j! .
Si x (t ) ne vérifie pas ces conditions, une TL et une TF peuvent néanmoins exister a.s.d.d..
(3)
Suppose x (t ) ! L2 ( R ) .