Enoncé et corrigé

EXERCICE 1 (5 points )
(Commun à tous les candidats)
9
On considère la fonc tion f définie sur ] − 1; 6[ par f (x) =
.
6−x
U0 = −3
.
On définit pour tout entier naturel n la suite (Un ) par
Un+1 = f (Un )
1. La courbe représentative de la fonction f est donnée en annexe accompagnée de la droite d’équation y = x.
Construire sur ce graphique les points M0 (U0 ; 0), M1 (U1 ; 0), M2 (U2 ; 0), M3 (U3 ; 0) et M4 (U4 ; 0).
Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (Un ) ?
2.
2.a. Démontrer que si x < 3, on a alors
naturel n.
9
< 3. En déduire que Un < 3 pour tout entier
6−x
2.b. Etudier le sens de variation de la suite (Un ).
2.c. Que peut-on déduire des questions 2.a. et 2.b. ?
3. On considère la suite (Vn ) définie par Vn =
1
pour tout entier naturel n.
Un − 3
1
3.a. Démontrer que la suite (Vn ) est une suite arithmétique de raison − .
3
3.b. Déterminer Vn puis Un en fonction de n.
3.c. Calculer la limite de la suite (Un ).
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ANNEXE
A rendre avec la copie
EXERCICE 1
7
6
5
4
3
2
1
−3
−2
1
−1
2
−1
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3
4
5
6
BACCALAUREAT GENERAL
Session de Juin 2008
MATHEMATIQUES
- Série S Enseignement Obligatoire
Nouvelle Calédonie
EXERCICE 1
1.
7
6
5
4
3
2
1
b
−3M0
b
−2
b
b b
2 3 M4
M1 1 M2 M
−1
3
4
5
6
−1
Il semblerait que la suite (Un ) soit strictement croissante et converge vers 3.
2. a) Soit x ∈ R.
x < 3 ⇒ −x > −3 ⇒ 6 − x > 3
1
1
1
< (car la fonction t 7→ est strictement décroissante sur ]0, +∞[)
6−x
3
t
1
9
9
⇒
< ⇒
< 3.
6−x
3
6−x
⇒
Montrons alors par récurrence que pour tout entier naturel n on a Un < 3.
• U0 = −3 et donc U0 < 3. L’inégalité est donc vraie quand n = 0.
9
< 3 ou encore Un+1 < 3.
• Soit n ∈ N. Supposons que Un < 3. Alors d’après ce qui précède,
6 − Un
On a montré par récurrence que
Pour tout entier naturel n, Un < 3.
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1
c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.
b) Soit n ∈ N.
Un+1 − Un =
9 − 6Un + U2n
(Un − 3)3
9
− Un =
=
.
6 − Un
6 − Un
6 − Un
Maintenant, puisque UN < 3, on a 6 − Un > 0 et (Un − 3)2 > 0 et finalement Un+1 − Un > 0.
On a montré que pour tout entier naturel n on a Un < Un+1 et donc que
La suite (Un )n∈N est strictement croissante.
c) Ainsi, la suite (Un )n∈N est croissante et majorée par 3 et donc
la suite (Un )n∈N converge.
3. a) Puisque pour chaque entier naturel n, on a Un < 3, pour chaque entier naturel n, Vn existe.
Soit n ∈ N.
Vn+1 =
1
=
Un+1 − 3
6 − Un
1
6 − Un
1
=
=
=
,
9
9 − 18 + 3Un
−9 + 3Un
3(Un − 3)
−3
6 − Un
6 − Un
et donc
Vn+1 − Vn =
1
6 − Un − 3
−(Un − 3)
1
6 − Un
−
=
=
=− .
3(Un − 3) Un − 3
3(Un − 3)
3(Un − 3)
3
Ainsi, pour tout entier naturel n, Vn+1 − Vn = −
1
et donc
3
1
la suite (Un )n∈N est arithmétique de raison − .
3
1
1 n
2n + 1
b) On sait alors que pour tout entier naturel n, Vn = V0 + n −
=− −
=−
. En particulier, pour tout
3
6
3
6
1
puis
entier n, Vn 6= 0 et on a Un − 3 =
Vn
Un = 3 +
1
6
=3−
.
Vn
2n + 1
Pour tout entier naturel n, Un = 3 −
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2
6
.
2n + 1
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