Polynésie 2013. Enseignement spécifique

Polynésie 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite (un ) définie par u0 =
3un
1
et telle que pour tout entier naturel n, un+l =
.
2
1 + 2un
1) a) Calculer u1 et u2 .
b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < un .
2) On admet que, pour tout entier naturel n, un < 1.
a) Démontrer que la suite (un ) est croissante.
b) Démontrer que la suite (un ) converge.
3) Soit (vn ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn =
un
.
1 − un
a) Montrer que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison 3.
b) Exprimer pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
3n
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, un = n
.
3 +1
d) Déterminer la limite de la suite (un ).
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1
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
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Polynésie 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
3
3
3u1
3u0
= 2 = et u2 =
=
1) a) u1 =
1 + 2u0
1+1
4
1 + 2u1
u1 =
3×
3
4
3
1+2×
4
=
9
.
10
3
9
et u2 =
.
4
10
b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un > 0.
1
• u0 = et donc l’inégalité est vraie quand n = 0.
2
• Soit n ! 0. Supposons que un > 0 et montrons que un+1 > 0.
3un
et que un > 0, on a un+1 > 0.
Comme un+1 =
1 + 2un
On a montré par récurrence que
pour tout entier naturel n, un > 0.
2) a) Soit n un entier naturel.
3
un+1
=
.
un
1 + 2un
Comme un < 1, on a 1 + 2un < 3 puis
1
1
> par stricte décroissance de la fonction inverse sur ]0, +∞[ et donc
1 + 2un
3
3
> 1.
1 + 2un
un+1
> 1. Puisque pour tout entier naturel n, on a un > 0, on en déduit que pour
un
> un . On a montré que
Ainsi, pour tout entier naturel n,
tout entier naturel n, un+1
la suite (un ) est croissante.
b) La suite (un ) est croissante et est majorée par 1. Donc la suite (un ) converge.
3) Puisque pour tout entier naturel n, on a un ̸= 1, pour tout entier naturel n, vn existe.
a) Soit n un entier naturel.
vn+1
un+1
=
=
1 − un+1
3un
1 + 2un
3un
1−
1 + 2un
3un
(en multipliant numérateur et dénominateur par le réel non nul 1 + 2un )
(1 + 2un ) − 3un
un
=3×
= 3vn .
1 − un
=
On a montré que pour tout entier naturel n, vn+1 = 3vn et donc la suite (vn ) est une suite géométrique de raison
q = 3.
u0
=
b) v0 =
1 − u0
1
2
= 1.
1
1−
2
Soit n un entier naturel. On sait que
vn = v0 × qn = 1 × 3n = 3n .
Pour tout entier naturel n, vn = 3n .
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c) Soit n un entier naturel.
vn =
un
⇔ (1 − un )vn = un ⇔ vn − un vn = un ⇔ vn = un vn + un ⇔ un (1 + vn ) = vn
1 − un
vn
3n
⇔ un =
⇔ un = n
.
vn + 1
3 +1
Pour tout entier naturel n, un =
3n
.
3n + 1
d) Pour tout entier naturel n,
un =
Puisque −1 <
1
< 1, on sait que
3
3n
3n
=
×
3n + 1
3n
1
1
1+ n
3
=
1
! "n .
1
1+
3
! "n
1
= 0. On en déduit que
n→+∞ 3
lim
lim un =
n→+∞
1
= 1.
1+0
lim un = 1.
n→+∞
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