Discrétisation par différences finies du laplacien

École Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Discrétisation
par différences finies
du laplacien
août 2007
MA261 Introduction au calcul scientifique
@Eric Lunéville
Différences finies
u : R −→ R fonction C 3
h2 ′′
u(x + h) = u(x) + hu (x) + u (x) + O(h3 )
2
h2 ′′
′
u(x − h) = u(x) − hu (x) + u (x) + O(h3 )
2
′
u(x + h) − u(x)
+ O(h)
h
u(x) − u(x − h)
′
u (x) =
+ O(h)
h
′
u (x) =
ordre 1, décentré avant
ordre 1, décentré arrière
u(x + h) − u(x − h)
u (x) =
+ O(h2 )
2h
′
ordre 2, centré
1
u(x+h)−u(x)
h
u(x+h)−u(x)
h
u′ (x)
u′ (x)
x
x
x+h
x+h
u(x + h) − u(x) h ′′
u (x) =
+ u (ξx ) ξx ∈ [x, x + h]
h
2
′′ bonne approximation si h petit et sup u (ξ) petit
′
ξ∈[x,x+h]
2
Eq. de Laplace 1D
′′
−u (x) = f (x) x ∈ ]0, 1[
u(0) = u(1) = 0
(f = 1 → u(x) = x(x − 1))
si u est C 4
2
2u(x)
−
u(x
+
h)
−
u(x
−
h)
h
(4)
u
−u′′ (x) =
+
(x + θh) θ ∈ ]−1, 1[
2
h
12
(dms : développement de Taylor-MacLaurin + th. des valeurs intermédiaires)
Rmq :
2
4
(4)
si f est C alors la solution u est C avec −u
′′ (4)
u (x + θh) ≤ sup f (x)
′′
= f et
x∈[0,1]
3
Discrétisation de l’équation
découpage de l’intervalle [0, 1]
(xi )i=1,N +1 avec xi = ih et h =
1
N+1
xi = ih
xN +1 = 1
x0 = 0
(découpage régulier pour simplifier)
ui approximation de u(xi ) et on note fi = f (xi )
2ui − ui+1 − ui−1
= fi
2
h
u0 = uN +1 = 0
pour i = 1, N
schéma à 3 points (ui−1 , ui , ui+1 )
4
Forme matricielle
1
h2
1
h2
...
1
h2
...
1
h2
1
h2
(2u1 − u2 ) = f1
i=1
(2u2 − u1 − u3 ) = f2
i=2
(2ui − ui+1 − ui−1 ) = fi
i
(2uN −1 − uN − uN −2 ) = fN −1
i=N −1
(2uN − uN −1 ) = fN =
i=N
−
→ −
→
AU = F

2

 −1

1 
A= 2
h 




−1
2
..
..
.
.
..
.
..
.
..
.
2
−1








−1 
2
tridiagonale symétrique
élimination de
u0 et uN +1
système linéaire d’ordre N

u1
u2
..
.

−
→ 

U =

 uN −1
uN








f1
f2
..
.

−
→ 

F =

 fN −1
fN







5
Propriété fondamentale
A est une matrice tridiagonale symétrique definie positive (donc inversible)
dms :
−
→ −
→
2
h AV , V
2
=h
N
i=1
−
→
vi A V
= v1 (2v1 − v2 ) +
i
i=N
−1
vi (2vi − vi+1 − vi−1 ) + vN (2vN − vN −1 )
i=2
2
v12 + vN
+
i=N−1
(vi − vi−1 )2 ≥ 0
i=2
−
→ −
→
A V , V = 0 −→ v1 = vN = 0 et vi − vi−1 = 0 −→ vi = 0 ∀i = 1, N
éléments propres de A
−
→
Wk =
ikπ
sin
N + 1 i=1,N
kπ
λk = 2 1 − cos
N +1
>0
k = 1, N
(2 sin ikhπ − sin(i + 1)khπ − sin(i − 1)khπ = 2 sin ikhπ (1 − cos khπ))
−
→ Wk
base orthogonale.
k=1,N
6
Estimation d’erreur
erreur ei = ui − u(xi )
Th´eéor`eème : si f ∈ C 2 alors
−
→
h2
sup |f ′′ (x)|
E = sup |ei | ≤
96 x∈[O,1]
∞
i=1,N
dms : voir polycopié
convergence ponctuelle à l’ordre 2
Remarque : si f ∈ C 0 alors u ∈ C 2 et on peut seulement montrer que :
−
→
lim E h−→0
=0
∞
convergence pouvant être très lente !
la qualité de l’approximation dépend de la régularité des solutions
7
−△u = f
u=0
dans Ω
sur ∂Ω
u=0
−△u = f
0
Approximation a
`à l’ordre 2 du laplacien
−△u(x) =
u=0
u=0
Eq. de Laplace sur le carré Ω = ]0, 1[ × ]0, 1[
1
u=0
Généralisation en dimension 2
1
(u ∈ C 4 (Ω))
4u(x, y) − u(x + h, y) − u(x − h, y) − u(x, y + h) − u(x, y − h)
2
+
O(h
)
2
h
même variation (h) suivant x et y
obtenu en approchant indépendamment ∂x2 u et ∂y2 u par DF d’ordre 2
8
Discrétisation du problème de Laplace
grille de discrétisation de pas h (identique dans les 2 directions)
xi = ih i = 0, n + 1
yj = jh j = 0, n + 1
yj = jh
Mij
Mij = (xi , yj )i,j=1,n+1
xi = ih
uij approximation de u(xi , yj )
1
(4uij − ui+1,j − ui−1,j − ui,j+1 − ui,j−1 ) = fij 1 ≤ i, j ≤ n
2
h
uij = 0
i = 0 ou i = n + 1 ou j = 0 ou j = n + 1
fij = f (xi , yj )
i, j + 1
schéma à 5 points
i − 1, j
i, j
i, j − 1
i + 1, j
9
Forme matricielle
On élimine les termes de bord !


u1j



U•j =  ...  F•j = 
unj



U•1
−
→  .  −
→ 
U =  ..  F = 
U•n


f1j
..  vecteurs de dimension n
. 
fnj

F•1
..  vecteurs de dimension n2
. 
F•n
2
Système linéaire d’ordre N = n :

B

 −I

1 
A= 2
h 




−I
B
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
B
−I








−I 
B
tridiagonale symétrique par bloc
−
→ −
→
AU = F

4

 −1


B =





−1
4
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
4
−1








−1 
4
tridiagonale symétrique
10
4
-1
-1
4
-1
-1
-1
-1
-1
4
0
0
4
-1
-1
4
-1
-1
-1
-1
-1
4
h2 A =
4
-1
-1
4
-1
-1
-1
-1
-1
4
0
0
4
-1
-1
4
-1
-1
-1
-1
-1
4
matrice symétrique pentadiagonale
11
Propri´eét´eés de l’approximation
A est une matrice symétrique définie positive (donc inversible)
dms :
−
→
−
→
h2 A V , V
2
2
= V•1 + V•n +
V•j − V•j+1 2
j=1,n−1
2 +h
(BV•j , V•j )
j=1,n
Nb de termes non nuls : 5n2 − 4n
soit un taux de remplissage de l’ordre de 5/n2
Si u ∈ C 4 (Ω) on a l’estimation d’erreur :
sup |uij − u(xi , yj )| ≤ C0 h2
(C0 cte ind. de u)
i,j
dms complexe
moins bonne convergence si u est moins régulier
12
Extensions
autre sch´eéma
−△u(x)


j+1
4u(x, y)
1 
−u(x + h, y + h) − u(x + h, y − h) 
=
2
2h
−u(x − h, y + h) − u(x − h, y − h)
+O(h2 )
schéma à 5 points en croix
j
j−1
i−1 i i+1
j+2
schéma à 5 points en 1D
j+1
j
i−2 i−1 i i+1 i+2
j−1
j−2
Idem en dimension 3
i−2i−1 i i+1 i+2
schéma à 9 points en 2D
13
condition de Dirichlet non homog`eène
en 1D
équation i = 1 :
équation i = n :
′′
−u (x) = f (x)
u(0) = g0 u(1) = g1
x ∈ ]0, 1[
2u2 − u2 − u0
2u2 − u2
g0
= f1 −→
= f1 + 2
2
2
h
h
h
2un − un−1 − un+1
2un − un−1
g1
= fn −→
= f1 + 2
h2
h2
h
modification du système linéaire :


g0
−
→ −
→
1  . 
A U = F + 2  .. 
h
g1
même principe en dimension supérieure
14
condition de Neumann
en 1D
′′
−u (x) + αu(x) = f (x) x ∈ ]0, 1[
u′ (0) = u′ (1) = 0
schéma d’ordre 2
2ui − ui+1 − ui−1
= fi
2
h
α = 0 problème mal posé !
pour i = 1, N
manque 2 équations
approximation d’ordre 1 :
u(h) − u(0)
′
+ O(h) → u1 = u0
0 = u (0) =
h
u(1) − u(1 − h)
′
0 = u (1) =
+ O(h) → uN +1 = uN
h
approximation d’ordre 2 (en utilisant l’équation)
u(h) = u(0) + hu′ (0) + 12 h2 u′′ (0) + O(h3 )
= u(0) + hu′ (0) + 12 h2 (αu(0) − f (0)) + O(h3 )
u1 = u0 + 12 h2 (αu0 − f0 )
uN = uN+1 + 12 h2 (αuN +1 − fN +1 )
15
en dimension 2
∂n = ∂y
Eq. de Laplace sur le carré Ω = ]0, 1[ × ]0, 1[
1
−△u + αu = f dans Ω
∂n = −∂x
∂n u = 0
sur ∂Ω
−
→
n normale sortante
−
→ −
→
∂n u = ∇u, n
0
∂n = ∂x
1
∂n = −∂y
condition de Neumann en y = 0
u(h, y)
3
1 2 2
= u(0, y) + h∂x u(0,
y)
+
h
∂
u(0,
y)
+
O(h
)
x
2
2
2
3
= u(0, y) + 12 h αu − f − ∂y u(0, y) + O(h )
(∂x u(0, y) = 0)
(en utilisant l’eq.)
en approchant ∂y2 u(0, y) par une DF d’ordre 2
u1j = u0j + 12 h2 (αu0j − f0j ) +
1
2
(2u0j − u0,j−1 − u0,j+1 )
idem pour les autres bords
non valable pour les coins !!!
16
Conclusions
• méthode des différences finies simple à mettre en œuvre (dvp Taylor)
• donne des systèmes linéaires sym. def. pos. creux sur les pbs elliptiques
• convergence quadratique si les solutions sont régulières
• permet de traiter la plupart des conditions limites
• mais limitée à des géométries rectangulaires !
méthode alternative : éléments finis
17