EXERCICE 3 (5 points ) Commun à tous les candidats Soit la suite

EXERCICE 3 (5 points )
Commun à tous les candidats
Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par :
1
2
1
u0 = et un+1 =
un +
.
2
2
un
1. a) Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par :
2
1
x+
.
f (x) =
2
x
Étudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère
→
− −
→
orthonormal (O, i , j ). (On prendra comme unité 2 cm.)
→
−
b) Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0 , A1 , A2 et A3 de l’axe (O, i )
d’abscisses respectives u0 , u1 , u2 et u3 .
2. a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul : un ≥
√
b) Montrer que, pour tout x ≥ 2, f (x) ≤ x.
√
2.
c) En déduire que la suite (un ) est décroissante à partir du rang 1.
d) Prouver qu’elle converge.
3. Soit ℓ la limite de la suite (un ). Montrer que ℓ est solution de l’équation :
2
1
x+
.
x=
2
x
En déduire sa valeur.
4
EXERCICE 3
1
1
= +∞. Donc lim x + = +∞ puis lim f(x) = +∞. On en déduit que la droite d’équation
x→
0
x→ 0
x
x
x>0
x>0
x = 0 est asymptote à la courbe représentative de f.
1
x
1
=
= 0. Donc lim x +
= +∞ puis lim f(x) = +∞. De plus, lim f(x) −
• lim x = +∞ et lim
x→ +∞
x→ +∞
x→ +∞
x→ +∞
x→ +∞ x
x
2
1
x
lim
= 0 et donc la droite d’équation y = est asymptote à la courbe représentative de f en +∞.
x→ +∞ 2x
2
• La fonction f est dérivable sur ]0, +∞[ en tant que fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur ]0, +∞[.
De plus, pour x > 0,
√
√
1
2
x2 − 2
(x − 2)(x + 2)
′
f (x) =
1− 2 =
=
.
2
x
2x2
2x2
√
√
x+ 2
> 0. Par suite, pour x > 0, f ′ (x) est du signe de x − 2. On en déduit le tableau de variations
Pour x > 0, on a
2
2x
de f,
1) a) • lim x = 0 et lim
x→ 0
x>0
x→ 0
x>0
x
√
2
0
′
f (x)
−
+∞
+
0
+∞
+∞
f
√
2
√
√
√
1 √
1 √
2
• f( 2) = ( 2 + √ ) = ( 2 + 2) = 2.
2
2
2
• Graphe de f.
y
=
x
5
4
3
y
1 (x
= 2
y=
2
+
2)
x
x
2
√
2
1
b
A0
A3
√
1 2
b b
b
A2 2 A1
3
4
5
b) Voir graphique ci-dessus
http ://www.maths-france.fr
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c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.
2) a) Montrons tout d’abord que pour tout entier naturel n, un existe et un > 0. C’est vrai pour n = 0 et si pour n ≥ 0
donné, un existe et un > 0, alors un+1 existe et un+1 > 0. Le résultat est donc démontré par récurrence.
Soit n ∈ N∗ .
√
√
√
√
u2n−1 − 2 2un−1 + 2
1
(un−1 − 2)2
2
=
.
un−1 +
un − 2 =
− 2=
2
un−1
2un−1
2un−1
√
On en déduit que un − 2 ≥ 0. On a montré que
pour tout entier naturel non nul n, un ≥
√
b) Soit x ∈ [ 2, +∞[.
1
f(x) − x =
2
Puisque x ≥
√
2.
√
√
2
x2 + 2
2 − x2
( 2 − x)( 2 + x)
x2 + 2 − 2x2
x+
−x=
=
=
.
−x=
x
2x
2x2
2x2
2x2
√
2, cette expression est négative et donc f(x) ≤ x.
Pour tout réel x ≥
c) Soit n ∈ N∗ . D’après la question a), on a un ≥
√
2, f(x) ≤ x.
√
2 et donc d’après la question b), on a
un+1 = f(un ) ≤ un .
On a montré que pour tout entier naturel non nul n, un+1 ≤ un et donc
la suite (un ) est décroissante.
d) La suite
√ (un ) décroît à partir du rang 1 et est minorée par
réel ℓ ≥ 2.
√
2. On en déduit que la suite (un ) converge vers un certain
La suite (un ) converge.
3) On passe à la limite quand n tend vers +∞ dans l’égalité Un+1 =
ℓ=
1
2
1
2
2
un +
. Puisque ℓ n’est pas nul, on obtient
un
2
ℓ+
.
ℓ
Maintenant,
1
ℓ=
2
2
ℓ+
ℓ
⇔ 2ℓ2 = l2 + 2 ⇔ ℓ2 = 2 ⇔ ℓ =
lim un =
n→ +∞
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√
2 (car ℓ > 0).
√
2.
c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.