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Pondichéry – Avril 2010 – Série S – Exercice
On considère la suite (un )n∈` définie par : u0 = 1 et pour tout
n ∈ `, un+1 = 1 un + n − 2 .
3
1. Calculer u1 , u2 et u3 .
2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n ≥ 4, un ≥ 0 .
b. En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 5, un ≥ n − 3 .
c. Etudier la limite de la suite (un )n∈` .
3. On définit la suite ( vn )n∈` par : pour tout n ∈ `, vn = −2un + 3n − 21 .
2
a. Démontrer que la suite ( vn )n∈` est une suite géométrique dont on
donnera la raison et le premier terme.
n
⎛1⎞
25
b. En déduire que : pour tout n ∈ `, un = ⎜⎜ ⎟⎟ + 3 n − 21 .
4 ⎝ 3⎠ 2
4
c. Soit la somme Sn définie pour tout entier naturel n par :
n
Sn = ∑ uk .
k =0
Déterminer l’expression de Sn en fonction de n.
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[1-5]
Juin 2010
Analyse
Un exercice sur les suites qui, toujours dans ce nouvel esprit du baccalauréat, vise à aborder
de nombreux thèmes des cours de 1ère et Terminale : suites arithmétiques et géométriques,
somme de termes, comparaison, raisonnement par récurrence.
Résolution
Question 1.
Il vient immédiatement :
1
1
5
u1 = u0 + 0 − 2 = × 1 − 2 = −
3
3
3
1
1 ⎛ 5⎞
5
14
u2 = u1 + 1 − 2 = × ⎜ − ⎟ − 1 = − − 1 = −
3
3 ⎝ 3⎠
9
9
1
1 ⎛ 14 ⎞
14
u3 = u2 + 2 − 2 = × ⎜ − ⎟ = −
3
3 ⎝ 9⎠
27
5
14
14
u1 = − , u2 = −
et u3 = −
3
9
27
Question 2.a.
Nous allons établir le résultat grâce à un raisonnement par récurrence en considérant, pour n
entier naturel supérieur à 4, les propriétés :
P
n
: « un ≥ 0 »
Initialisation.
1
1 ⎛ 14 ⎞
14
67
.
Pour n = 4 , on a : u4 = u3 + 3 − 2 = × ⎜ − ⎟ + 1 = − + 1 =
3
3 ⎝ 27 ⎠
81
81
67
On a :
≥ 0.
81
La propriété P4 est donc vraie.
Hérédité.
Soit n un entier naturel quelconque fixé supérieur à 4. Supposons que la propriété
vraie.
P
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[2-5]
n
soit
On a alors :
un ≥ 0 (hypothèse de récurrence) qui donne
n ≥ 4 qui donne n − 2 ≥ 2 ≥ 0
1
un ≥ 0
3
1
un + n − 2 ≥ 0 , c'est-à-dire : un +1 ≥ 0 .
3
est donc vraie . La propriété Pn est héréditaire.
On en déduit alors immédiatement :
La propriété
P
n +1
En définitive : pour tout entier n supérieur à 4, la propriété
P
n
est vraie.
Pour tout n entier naturel supérieur à 4, on a : un ≥ 0 .
Question 2.b.
1
D’après la question précédente, on a : n ≥ 4 ⇒ un ≥ 0 , ce qui équivaut à : n ≥ 4 ⇒ un ≥ 0 .
3
1
On en déduit alors : un +1 = un + n − 2 ≥ n − 2 .
3
On a donc : n ≥ 4 ⇒ un +1 ≥ n − 2 . Ce qui équivaut à, en effectuant un changement d’indice :
n ≥ 5 ⇒ un ≥ ( n − 1) − 2 = n − 3 .
Pour tout n entier naturel supérieur à 5, on a : un ≥ n − 3 .
Question 2.c.
On a immédiatement : lim ( n − 3) = lim n = +∞ . On en déduit alors d’après la question
n →+∞
n →+∞
précédente (comparaison) :
lim un = +∞
n →+∞
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Juin 2010
Question 3.a.
Pour tout entier naturel n, on a :
vn +1 = −2un +1 + 3 ( n + 1) −
21
2
21
⎛1
⎞
= −2 ⎜ un + n − 2 ⎟ + 3 ( n + 1) −
2
⎝3
⎠
2
21
= − un − 2n + 4 + 3n + 3 −
3
2
2
7
= − un + n −
3
2
1⎛
21 ⎞
= ⎜ −2un + 3n − ⎟
3⎝
2⎠
1
= vn
3
On en tire que la suite ( vn ) est une suite géométrique de raison
1
.
3
On a par ailleurs :
v0 = −2u0 + 3 × 0 −
21
21
25
= −2 − = −
2
2
2
La suite ( vn ) est une suite géométrique de raison
1
25
et de premier terme v0 = − .
3
2
Question 3.b.
n
25 ⎛ 1 ⎞
D’après la question précédente, on a, pour tout entier naturel n : vn = − ⎜ ⎟ .
2 ⎝3⎠
21
1⎛
21 ⎞
On en tire alors : un = ⎜ −vn + 3n − ⎟ , soit :
Or, par définition : vn = −2un + 3n −
2
2⎝
2⎠
1⎛
21 ⎞
un = ⎜ −vn + 3n − ⎟
2⎝
2⎠
n
1 ⎡ 25 ⎛ 1 ⎞
21 ⎤
= ⎢ ⎜ ⎟ + 3n − ⎥
2 ⎢⎣ 2 ⎝ 3 ⎠
2 ⎥⎦
n
25 ⎛ 1 ⎞ 3
21
= ⎜ ⎟ + n−
4 ⎝3⎠ 2
4
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On a bien :
n
25 ⎛ 1 ⎞ 3
21
∀n ∈ `, un = ⎜ ⎟ + n −
4 ⎝3⎠ 2
4
Question 3.c.
On peut procéder de diverses façons. Ici, nous regroupons les termes en remarquant que la
somme Sn en comporte n + 1 .
n
S n = ∑ uk
k =0
= u0 + u1 + ... + un
n
0
1
25 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
21
⎛1⎞ ⎤ 3
=
⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ ⎥ + ( 0 + 1 + ... + n ) − (1 + 1 + ... + 1)
4 ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
4 ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ 2
n +1 termes
n +1
⎛1⎞
1− ⎜ ⎟
25 ⎝ 3 ⎠
3 n ( n + 1) 21
=
+
− ( n + 1)
4 1− 1
2
2
4
3
n +1
25 3 ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤ 3
21
= × ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + n ( n + 1) − ( n + 1)
4 2 ⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ 4
4
n +1
75 ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤ 3
= ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + ( n + 1)( n − 7 )
8 ⎣⎢ ⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ 4
n +1
⎤
3⎡
⎛1⎞
= ⎢ 25 − 25 ⎜ ⎟ + 2n 2 − 12n − 14 ⎥
8 ⎢⎣
⎝3⎠
⎥⎦
n +1
3⎡ 2
⎛1⎞ ⎤
= ⎢ 2n − 12n + 11 − 25 ⎜ ⎟ ⎥
8 ⎣⎢
⎝ 3 ⎠ ⎦⎥
3⎡
⎛1⎞
∀n ∈ `, Sn = ⎢ 2n 2 − 12n + 11 − 25 ⎜ ⎟
8 ⎣⎢
⎝3⎠
n +1
⎤
⎥
⎦⎥
A titre de vérification (très partielle !), on pourra calculer S3 : d’une part, en utilisant les
valeurs obtenues à la question 1. ; d’autre part, en utilisant la formule que nous venons
d’obtenir.
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