Modèle mathématique.

1er ES2
DEVOIR SURVEILLE N°7
Vendredi 11 mai 2012
EXERCICE 1 : 4 points
QCM : Pour chaque question indiquer la bonne réponse :
1. La suite ( u n ) est définie pour tout entier naturel n par : u n   n 2  3n  2 . Alors u 2 est égal à :
a. 0
b. 2
c. 8
2. La suite ( v n ) est définie par v 0 = 3 et pour tout entier naturel n par : vn1  2 vn  5 . Alors v 2 est égal à :
a. 9
b. 11
c. 27
3. La suite ( wn ) est définie pour tout entier naturel n par : wn  5  4n . Alors la suite ( wn ) est :
a. arithmétique
b. géométrique
c. ni arithmétique, ni géométrique
4. La suite ( a n ) est définie pour tout entier naturel n par : a n  3n 2  1 . Alors a n 1 est égal à :
a. 3n 2
b. 3n 2  6n  2
c. 3n 2  2
EXERCICE 2 : 4 points
La suite ( u n ) est une suite arithmétique telle que : u10 = 20 et u 26 = 44.
1. Déterminer la raison r , le premier terme u 0 puis l’expression de u n en fonction de n .
2. Quel est le sens de variation de la suite ( u n )? Justifier la réponse.
3. Déterminer par le calcul le rang n à partir duquel u n  100.
EXERCICE 3: 3,5 points
2n  1
.
n5
1. Trouver une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +[ telle que u n  f (n) , puis étudier les variations de la
fonction f sur l’intervalle [0 ; +[.
On considère la suite ( u n ) définie pour tout entier naturel n par : u n 
2. En déduire le sens de variation de la suite ( u n ).
EXERCICE 4 : 4 points
Tom décide de vendre son appartement, il fixe le prix d’origine à 90 000 € et décide de diminuer ce prix de 2% par
mois tant qu’il ne trouve pas d’acheteur.
Soit u n le prix de l’appartement n mois après le début de la vente.
1. Déterminer u 0 , u1 et u 2 .
2. Exprimer u n 1 en fonction de u n et en déduire la nature de la suite ( u n ).
3. Exprimer u n en fonction de n .
4. Quel sera le prix de l’appartement au bout de 2 ans s’il ne trouve pas d’acheteur ?
5. A l’aide de la calculatrice, déterminer quand le prix de l’appartement passera sous les 60 000 € .
EXERCICE 5 : 4,5 points
Une entreprise décide de fabriquer et de commercialiser un produit.
Sa capacité maximale de production est de 20 tonnes.
Le coût, en milliers d’euros, d’une production de x tonnes est donné par : C( x)  x 3  30 x 2  301x .
1. Etudier les variations de la fonction C sur l’intervalle [ 0 ; 20].
2. En économie, on appelle coût moyen (noté C M ) le coût de fabrication d’une tonne de produit lorsque x tonnes
C( x )
x
a. Montrer que C M ( x)  x 2  30 x  301 .
sont produites. On a donc : C M ( x ) 
b. Etudier le sens de variation de la fonction C M sur l’intervalle [ 0 ; 20].
c. En déduire le coût moyen minimal.
CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N°7
EXERCICE 1 :
1. a.
2. c
3. a
4. b
EXERCICE 2 :
1. (u n ) une suite arithmétique donc : u 26 = u10 + (26 – 10) x r soit 44 = 20 + 16 r donc r =
44 – 20
= 1,5
16
u10 = u 0 + 10 r soit 20 = u 0 + 10 x 1,5 donc u 0 = 20 – 15 = 5
Ainsi u n = u 0 + n x r = 5 + 1,5 n
2. (u n ) une suite arithmétique dont la raison r = 1,5 > 0 donc (u n ) est strictement croissante.
95
3. u n  100
5 + 1,5 n  100 1,5 n  100 – 5
63,4 . Donc u n  100 à partir du rang n = 64.
n 
1,5
EXERCICE 3:
u( x )
2x  1
1. f ( x ) 
avec u( x)  2 x  1 donc u' ( x)  2
f est dérivable sur [0 ; +[ et f ( x ) 
x5
v( x )
v( x)  x  5 donc v' ( x)  1
2( x  5)  1( 2 x  1) 2 x  10  x 2  1
u
u' v  uv'
9
Or ( )' 
donc f ' ( x) 


2
2
2
v
v
( x  5)
( x  5)
( x  5) 2
( x + 5)2 > 0 pour tout réel x ∈ [0 ; +[ donc f ' ( x) > 0 pour tout réel x ∈ [0 ; +[ .
Donc la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +[ .
On peut en déduire que la suite u est strictement croissante.
EXERCICE 4 :
2
) = 90 000 x 0,98 = 88 200
u 2 =88 200 x 0,98 = 86 436
100
2. u n1 = 0,98 u n ( puisque chaque mois le prix baisse de 2 % donc est multiplié par 0,98) .
On en déduit que la suite ( u n ) est une suite géométrique de 1er terme u 0 = 90 000 et de raison q = 0,98.
3. u n = u 0 x q n donc u n = 90 000 x 0,98 n
4. u 24 = 90 000 x 0,9824 55 420 ,23 : au bout de 2 ans, le prix de l’appartement sera d’environ 55 420 ,23 €
5. A l’aide de la calculatrice on trouve : u 20 60 084 et u 21 58 883.
Le prix de l’appartement passera donc sous les 60 000 € à partir du 21ème mois après le début de la vente.
1. u 0 = 90 000
u1 = 90 000 x ( 1 –
EXERCICE 5 :
1. C est dérivable sur l’intervalle [ 0 ; 20] et C' ( x)  3x 2  60 x  301
C' ( x) est un trinôme du second degré
= (- 60)2 – 4 x 3 x 301 = - 12 < 0 .
Donc C' ( x) est du signe de a = 3 sur [ 0 ; 20].
Donc C est strictement croissante sur [0 ; 20] .
C( x) x 3  30x 2  301x

 x 2  30x  301
x
x
b. C M est dérivable sur [ 0 ; 20] et C M ' ( x)  2 x  30
C' M est une fonction affine avec a = 2 > 0 qui s’annule en 15.
On a donc le tableau de signes et de variation ci-contre.
2. a. C M ( x) 
c. D’après ce tableau, on en déduit que le coût moyen minimal
est de 76 000 € ( pour une production de 15 tonnes)
x
0
20
2020
Variations
de C
0
x
Signe de
C' M
0
15
–
0
20
+
101
Variations
de C M
76