Enoncé et corrigé pdf

Nouvelle Calédonie. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0; +∞[ par
f(x) = 5 −
4
.
x+2
On admettra que f est dérivable sur l’intervalle [0; +∞[.
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe C représentative de f ainsi que la droite D d’équation
y = x.
1) Démontrer que f est croissante sur l’intervalle [0; +∞[.
2) Résoudre l’équation f(x) = x sur l’intervalle [0; +∞[. On note α la solution.
On donnera la valeur exacte de α puis on en donnera une valeur approchée à 10−2 près.
3) On considère la suite (un ) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ).
Sur la figure de l’annexe 1, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les points M0 , M1 et M2 d’ordonnée
nulle et d’abscisses respectives u0 , u1 et u2 .
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (un ) ?
4) a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 ! un ! un+1 ! α
où α est le réel défini dans la question 2.
b) Peut-on affirmer que la suite (un ) est convergente ?
5) Pour tout entier naturel n, on définit la suite (Sn ) par
Sn =
n
"
uk = u0 + u1 + . . . + un .
k=0
a) Calculer S0 , S1 et S2 . Donner une valeur approchée des résultats à 10−2 près.
b) Compléter l’algorithme donné en annexe 2 pour qu’il affiche la somme Sn pour la valeur de
l’entier n demandée à l’utilisateur.
c) Montrer que la suite (Sn ) diverge vers +∞.
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FEUILLES ANNEXES
Annexe 1, exercice 4
6
5
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
6
7
Annexe 2, exercice 4
Entrée
n un entier naturel
Variables
u et s sont des variables réelles
n et i sont des variables entières
Initialisation :
u prend la valeur 1
s prend la valeur u
i prend la valeur 0
Demander la valeur de n
Traitement
Tant que ...
Affecter à i la valeur i + 1
Affecter à u la valeur ...
Affecter à s la valeur ...
Fin tant que
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Nouvelle Calédonie. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
1) f est dérivable sur [0, +∞[ et pour tout réel positif x,
f ′ (x) = 0 − 4 ×
4
−1
=
.
(x + 2)2
(x + 2)2
La dérivée de f est positive sur [0, +∞[ et donc la fonction f est croissante sur l’intervalle [0, +∞[.
2) Soit x un réel positif.
5(x + 2) − 4
4
=x⇔
= x ⇔ 5x + 6 = x2 + 2x
x+2
x+2
⇔ x2 − 3x − 6 = 0.
f(x) = x ⇔ 5 −
Le discriminant de l’équation x2 − 3x − 6 = 0 √
est ∆ = (−3)2 − 4√
× 1 × (−6) = 33. L’équation x2 − 3x − 6 = 0 admet deux
3 + 33
3 − 33
solutions réelles distinctes à savoir x1 =
et x1 =
. x1 est un réel positif et x2 est un réel strictement
2
2
√
3 + 33
2
. La
négatif. Donc l’équation x − 3x − 6 = 0 admet une et une seule solution positive à savoir le réel α =
2
calculatrice fournit
α=
3+
√
33
= 4, 37 à 10−2 près.
2
D
3) Représentation graphique.
6
5
C
4
3
2
1
M0
M1
O
1
2
3
4
Il semble que la suite (un ) soit croissante, convergente de limite α.
M2
5
6
7
4) a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 ! un ! un+1 ! α.
11
4
= 3, 6 . . . Donc u1 " u0 . Enfin, α = 4, 3 . . . et donc α " u1 .
• u0 = 1 et donc u0 " 0. u1 = 5 − =
3
3
Ainsi, 0 ! u0 ! u1 ! α. La propriété à démontrer est vraie quand n = 0.
• Soit n " 0. Supposons que 0 ! un ! un+1 ! α et montrons que 0 ! un+1 ! un+2 ! α.
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0 ! un ! un+1 ! α ⇒ f(0) ! f (un ) ! f (un+1 ) ! f(α) (par croissance de la fonction f sur [0, +∞[)
⇒ 3 ! un+1 ! un+2 ! α
⇒ 0 ! un+1 ! un+2 ! α.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 ! un ! un+1 ! α.
b) La suite (un ) est croissante et majorée par le réel α. Donc la suite (un ) est convergente.
11
14
5) a) S0 = u0 = 1, S1 = u0 + u1 = 1 +
=
= 4, 66 à 10−2 près.
3
3
12
73
14 73
457
4
=5−
=
puis S2 =
+
=
= 8, 96 à 10−2 près.
u2 = 5 −
11
17
17
3
17
51
+2
3
b)Algorithme complété.
Entrée
n un entier naturel
Variables
u et s sont des variables réelles
n et i sont des variables entières
Initialisation :
u prend la valeur 1
s prend la valeur u
i prend la valeur 0
Demander la valeur de n
Traitement
Tant que i < n
Affecter à i la valeur i + 1
4
u+2
Affecter à s la valeur s + u
Fin tant que
Affecter à u la valeur 5 −
Sortie
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c) La suite (un ) est croissante. On en déduit que pour tout entier naturel n, un " u0 ou encore un " 1. Par suite,
pour tout entier naturel n,
Sn " $1 + 1 +%&. . . + 1' = n + 1.
n+1 termes
Puisque
lim (n + 1) = +∞, on en déduit que
n→+∞
lim Sn = +∞.
n→+∞
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