x x xxf + + - = 1 )1ln( )(

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x x xxf + + - = 1 )1ln( )(
Exercice VII (SG)
On considère la fonction  définie sur l’intervalle ]-1 ;+∞[ par :
f ( x)  x 
ln(1  x )
. La courbe représentative (C) de  est donnée sur la figure suivante :
1 x
250
200
150
100
50
0
-0.98
-0.58
-0.18
0.22
0.62
1.02
1.42
1.82
2.22
2.62
3.02
3.42
3.82
4.22
4.62
5.02
5.42
-50
1) Calculer la dérivée de , ’() sur l’intervalle ]-1 ;+∞[.
2) Pour tout  de l’intervalle ]-1 ;+∞[, on pose
() = (1 + )2 − 1 + ln( 1 + ).
Vérifier que l’on définit ainsi une fonction strictement croissante sur ]-1 ;+∞[. Calculer (0). En
déduire les variations de .
3) Soit (D) la droite d’équation  = . Calculer les coordonnées du point d’intersection de la courbe
(C) et de la droite (D).
4) Démontrer que si  ∈ [0; 4], alors () ∈ [0; 4[.
5) On considère la suite ( ) définie par 0 = 4 et +1 =( ).
a- Calculer 1 , 2 et 3 .
b- Démontrer que pour tout entier naturel  ,  ∈ [0; 4].
c- Démontrer que la suite ( ) est convergente. Utiliser les parties précédentes pour donner la
valeur de la limite de  .

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