EXERCICE 4 (5 points ) (Commun à tous les candidats) Soit f la

EXERCICE 4 (5 points )
(Commun à tous les candidats)
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f (x) = 6 −
5
.
x+1
Le but de cet exercice est d’étudier des suites (un ) définies par un premier terme positif ou nul u0 et
vérifiant pour tout entier naturel n :
un+1 = f (un ).
1. Etude des propriétés de la fonction f
a) Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
b) Résoudre dans l’intervalle [0 ; +∞[ l’équation f (x) = x.
On note α la solution.
c) Montrer que si x appartient à l’intervalle [0 ; α], alors f (x) appartient à l’intervalle [0 ; α].
De même, montrer que si x appartient à l’intervalle [α ; +∞[, alors f (x) appartient à
l’intervalle [α ; +∞[.
2. Etude de la suite (un ) pour u0 = 0
Dans cette question, on considère la suite (un ) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n :
un+1 = f (un ) = 6 −
5
.
un + 1
a) Sur le graphique représenté dans l’annexe 2, sont représentées les courbes d’équations y = x
et y = f (x).
Placer le point A0 de coordonnées (u0 ; 0) et, en utilisant ces courbes, construire à partir du
point A0 les points A1 , A2 , A3 et A4 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u1 , u2 , u3
et u4 .
Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la
suite (un ) ?
b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 ! un ! un+1 ! α.
c) En déduire que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite.
3. Etude des suites (un ) selon les valeurs du réel positif ou nul u0
Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite (un ) suivant les valeurs du
réel positif ou nul u0 ?
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FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)
Annexe1 (Exercice 3, question 1)
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
1
−1
−1
2
3
4
−2
−3
−4
−5
Annexe 2 (Exercice 4, question 2.a)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Page 6 / 6
6
7
8
9
EXERCICE 4
1.
Etude des propriétés de la fonction f
a) La fonction f est dérivable sur [0, +∞[ et pour x ! 0,
!
!
f (x) = 0 − 5 × −
1
(x + 1)2
"
=
5
.
(x + 1)2
La dérivée de f est strictement positive sur [0, +∞[ et donc f est strictement croissante sur [0, +∞[.
b) Soit x ∈ [0, +∞[.
f(x) = x ⇔ 6 −
5
5
(x − 6)(x + 1) + 5
=x⇔x−6+
=0⇔
= 0 ⇔ x2 − 5x − 1 = 0.
x+1
x+1
x+1
Le discriminant du trinôme x2 √
− 5x − 1 est ∆ =√(−5)2 − 4 × (−1) = 29. L’équation x2 − 5x − 1 = 0 admet donc deux
√
√
5 + 29
5 − 29
racines réelles à savoir α =
et β =
. β est strictement négatif (car 29 > 25 = 5) et α est strictement
2
2
positif. Donc
l’équation f(x) = x admet une unique solution dans [0, +∞[, le nombre α =
5+
√
29
.
2
c) Soit x ∈ [0, α]. Puisque 0 " x " α et que f est croissante sur [0, +∞[, on a f(0) " f(x) " f(α) ou encore 1 " f(x) " α
et en particulier 0 " f(x) " α.
De même, si x ! α, alors f(x) ! f(α) = α.
Si x ∈ [0, α], alors f(x) ∈ [0, α] et si x ∈ [α, +∞[, alors f(x) ∈ [α, +∞[.
2.
Etude de la suite (un ) pour u0 = 0
a)
=
x
9
y
8
7
6
y = f(x)
5
4
3
2
1
A1
A0
A2
1
2
3
A3
4
A4
α
5
6
7
8
9
Il semble que la suite (un ) soit croissante, convergente de limite α.
b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 " un " un+1 " α.
√
5 + 29
• Puisque u0 = 0, u1 = f(u0 ) = 1 et α =
= 5, 1 . . ., ces inégalités sont vraies quand n = 0.
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c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.
!
• Soit n ! 0. Supposons que 0 " un " un+1 " α. Puisque f est croissante sur [0, +∞[, on en déduit que f(0) " f(un ) "
f(un+1 ) " f(α) ou encore 1 " un+1 " un+2 " α et en particulier 0 " un+1 " un+2 " α.
Le résultat est démontré par récurrence.
Pour tout entier naturel n, 0 " un " un+1 " α.
c) Ainsi, la suite (un ) est croissante et majorée par α. On en déduit que la suite (un ) converge. On note $ sa limite. $ est
un réel positif et
!
"
5
5
$ = lim un+1 = lim
6−
=6−
= f($).
n→ +∞
n→ +∞
un + 1
$+1
Maintenant, α est l’unique solution dans [0, +∞[ de l’équation f(x) = x et donc $ = α.
La suite (un ) est croissante et converge vers α.
3.
Etude des suites (un ) selon les valeurs du réel positif ou nul u0
1er cas. Supposons 0 " u0 < α. Vérifiions tout d’abord que u1 > u0 .
u1 − u0 = 6 −
(6 − u0 )(u0 + 1) − 5
−u20 + 5u0 + 1
−(u0 − α)(u0 − β)
5
− u0 =
=
=
> 0 car β < u0 < α.
u0 + 1
u0 + 1
u0 + 1
u0 + 1
Ainsi, u1 > u0 . Mais alors, toute la démarche de la question précédente reste valable et de la même manière, on peut
montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 " un < un+1 < α. Dans ce cas, la suite (un )n∈N est strictement
croissante et est majorée par α. On en déduit que la suite (un )n∈N converge vers l’unique solution positive de l’équation
f(x) = x c’est-à-dire converge vers α.
Si 0 " u0 < α, la suite (un )n∈N est croissante et converge vers α.
−(u0 − α)(u0 − β)
< 0. Donc u1 < u0 . Puisque la fonction f est
u0 + 1
strictement croissante sur [α, +∞[, en adaptant la démarche de la question précédente, on peut montrer par récurrence
que pour tout entier naturel n, α < un+1 < un . Dans ce cas, la suite (un )n∈N est strictement décroissante et est minorée
par α et donc la suite (un )n∈N converge vers l’unique solution positive de l’équation f(x) = x c’est-à-dire converge vers α.
2ème cas. Supposons u0 > α. Alors u1 − u0 =
Si u0 > α, la suite (un )n∈N est décroissante et converge vers α.
3ème cas. Supposons u0 = α. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un = α.
• C’est vrai pour n = 0.
• Soit n ! 0. Supposons que un = α. Alors un+1 = f(un ) = f(α) = α.
Le résultat est démontré par récurrence.
Si u0 = α, la suite (un )n∈N est constante et en particulier converge vers α.
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