EXERCICE 1 (4 points ) Commun à tous les candidats On considère
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EXERCICE 1 (4 points ) Commun à tous les candidats On considère
EXERCICE 1 (4 points ) Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0; +∞[ par 2 f (x) = 1 − x2 e1−x . Son tableau de variations est le suivant : x 0 1 1 +∞ 1 f (x) 0 Sa courbe représentative C et son asymptote ∆, d’équation y = 1, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie. A - Lecture graphique 1) k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre de solutions dans l’intervalle [0; +∞[ de l’équation f (x) = k. 1 2) n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’équation f (x) = n admet deux solutions distinctes. B - Définition et étude de deux suites 1) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l’équation f (x) = un et vn respectivement comprises dans les intervalles [0; 1] et [1; +∞[. 1 admet deux solutions n 2) Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses les réels un et vn pour n appartenant à l’ensemble {2; 3; 4}. 3) Déterminer le sens de variation des suites (un ) et (vn ). 4) Montrer que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite (vn ). En déduire que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. 2 ANNEXE DE L’EXERCICE 1 O 1 y ∆ 1 2 C x A compléter et à rendre avec la copie 7 BACCALAUREAT GENERAL Session 2004 MATHEMATIQUES - Série S Enseignement Obligatoire Réunion EXERCICE 1 A - Lecture graphique 1. Soit k un réel. Une lecture graphique nous apprend que • si k < 0 ou k > 1, l’équation f(x) = k n’admet pas de solution dans [0, +∞[, • si 0 < k < 1, l’équation f(x) = k admet exactement deux solutions dans [0, +∞[, • Si k = 0 ou si k = 1, l’équation f(x) = k admet exactement une solution dans [0, +∞[. 1 1 < 1 équivaut à n > 1 ou encore n ≥ 2. Donc, l’équation f(x) = admet deux 2. Soit n un entier naturel. 0 < n n solutions distinctes si et seulement si n ≥ 2. B - Définition et étude de deux suites 1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. La fonction f est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0, 1]. On sait alors que pour tout réel k de l’intervalle [f(1), f(0)], l’équation f(x) = k admet une solution et une seule dans l’intervalle [0, 1]. Maintenant, f(0) = 1, f(1) = 0 et 1 1 1 puisque n est supérieur ou égal à 2, on a 0 ≤ ≤ 1 ou encore f(1) ≤ ≤ f(0). On en déduit que l’équation f(x) = n n n admet une et une seule solution notée un dans l’intervalle [0, 1]. De même, la fonction f est continue et strictement croissante sur [1, +∞[ et donc pour tout réel k de l’intervalle [f(1), lim f(x)[ c’est-à-dire l’intervalle [0, 1[, l’équation f(x) = k admet une solution et une seule dans l’intervalle [1, +∞[. x→ +∞ Comme 0 ≤ 2. 1 1 < 1, l’équation f(x) = admet une et une seule solution notée vn dans l’intervalle [1, +∞[. n n Voir graphique à la fin de l’exercice. 1 1 1 1 et f(un+1 ) = . Comme < , on a n n+1 n+1 n f(un+1 ) < f(un ). Comme f est strictement décroissante sur l’intervalle [0, 1] et que un et un+1 sont éléments de [0, 1], on en déduit que un+1 > un . Ainsi, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a un < un+1 et donc 3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On a f(un ) = la suite (un ) est strictement croissante. De même, pour n entier naturel supérieur ou égal à 2 donné, f(vn+1 ) < f(vn ) et puisque f est strictement croissante sur l’intervalle [1, +∞[ et que les réels vn et vn+1 sont éléments de cet intervalle, on a vn+1 < vn . La suite (vn ) est strictement décroissante. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 4. La suite (un ) est croissante et majorée par 1. Donc la suite (un ) est convergente. On note ℓ sa limite. Puisque, pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 1, quand n tend vers +∞, on obtient 0 ≤ ℓ ≤ 1. 1 (∗). La fonction f est continue sur [0, 1] et en particulier Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, on a f(un ) = n en ℓ. Par suite, quand n tend vers +∞, f(un ) tend vers f(ℓ). En faisant tendre n vers +∞ dans l’égalité (∗), on obtient alors f(ℓ) = 0. Mais l’équation f(x) = 0 admet une solution et une seule dans [0, 1] à savoir x = 1. Par suite, ℓ = 1. La suite (un ) est convergente et lim un = 1. n→ +∞ De même, la suite (vn ) est décroissante et minorée par 1. Donc la suite (vn ) converge vers un réel ℓ ′ de [1, +∞[. En faisant 1 tendre n vers +∞ dans l’égalité f(vn ) = , on obtient f(ℓ ′ ) = 0 et donc ℓ ′ = 1. n La suite (vn ) est convergente et lim vn = 1. n→ +∞ Ainsi, • la suite (un ) est croissante, • la suite (vn ) est décroissante, • lim (vn − un ) = 1 − 1 = 0. n→ +∞ On en déduit que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. ∆ 1 C 1 2 1 3 1 4 0 0 u2 u3 u4 http ://www.maths-france.fr 1 v4 v3 2 v2 2 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.