Chapitre 4. Étude de fonctions

QCM chapitre 4 (cf. p. 116 du manuel)
Pour bien commencer
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Tableaux de variations et tableaux de signes
Les exercices 1 et 2 se réfèrent au graphique ci-dessous qui représente la fonction f définie sur [–3 ; 1].
Exercice 1.
A f admet comme tableau de variations :
B Sur [–3 ; –0,5], le minimum de f vaut –2.
C f est positive pour tout réel x.
D Le maximum de la fonction sur [–3 ; 1] est 1.
Réponses justes : A et B
• La réponse A est vraie : on a bien f(–3) = 4 ; f(–1,5) = –2 ; f(–0,5) = 3, f(0) = –3 et f(1) = 2.
De plus f est croissante sur [–1,5 ; –0,5] et sur [0 ; 1] et décroissante sur [–3 ; –1,5] et sur
[–0,5 ; 0].
• La réponse B est vraie : en effet, sur [–3 ; 0,5], –2 est la plus petite valeur que f prend.
• La réponse C est fausse car f(0)= –3.
• La réponse D est fausse car le maximum de f est 4.
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Exercice 2.
A L’équation f(x) = 0 admet quatre solutions sur [–3 ; 1].
B Sur [0 ; 1], le maximum de f est atteint pour x = 2.
C f est positive pour tout x ∈ [–1 ; –0,5].
D f admet comme tableau de signes :
Réponses justes : A et C
• La réponse A est vraie : la courbe 𝒞f coupe quatre fois l’axe des abscisses.
• La réponse B est fausse car le maximum est atteint pour x = 1 et il vaut 2.
• La réponse C est vraie car la courbe 𝒞f se situe sur ou au-dessus de l’axe des abscisses lorsque
x ∈ [–1 ; –0,5].
• La réponse D est fausse car, avec la précision permise par le graphique, f est positive sur [–3 ; –1,9],
et non négative sur cet intervalle.
Exercice 3.
Soit f une fonction définie sur [–4 ; 2] dont le tableau de variations est donné ci-dessous. On précise de
plus que f(–0,4) = 0 et f(1) = 0.
A L’équation f(x) = 0 n’admet pas de solution sur [–4 ; 2].
B f admet pour tableau de signes :
C f admet 1 comme maximum sur [0 ; 2].
D L’équation f(x) = 2 admet deux solutions sur [–4 ; 2].
Réponses justes : C et D
• La réponse A est fausse, car on a f(–0,4) = 0 et f(1) = 0.
• La réponse B est fausse :
Sur [–4 ; –1], f(x) > 0 car le minimum de f est égal à 1.
Sur [–1 ; –0,4] f est décroissante et f(–0,4) = 0 donc f(x) ⩾ f(–0,4) c’est–à–dire f(x) ⩾ 0.
Sur [–0,4 ; 0], f est décroissante et f(–0,4) = 0 donc f(x) ⩽ f(–0,4) c’est–à–dire f(x) ⩽ 0.
Sur [0 ; 1], f est croissante et f(1) = 0 donc f(x) ⩽ f(1) c’est–à–dire f(x) ⩽ 0.
Sur [1 ; 2], f est croissante et f(1) = 0 donc f(x) ⩾ f(1) c’est–à–dire f(x) ⩾ 0.
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En résumé :
• La réponse C est vraie, car sur [0 ; 2], 1 est la plus grande valeur prise par f.
• La réponse D est vraie, sur [–4 ; –1], f est dérivable, strictement croissante et f(x) ∈ [1 ; 5], donc
l’équation f(x) = 2 admet une unique solution.
Sur [–1 ; 0] f est dérivable, strictement décroissante et f(x) ∈ [–3 ; 5], donc l’équation f(x) = 2 admet
une unique solution.
Sur [0 ; 2], le maximum de f est égal à 1 donc l’équation f(x) = 2 n’a pas de solution.
Exercice 4.
Soit f une fonction définie sur [–1 ; 12] dont le tableau de variations est donné ci-dessous.
A f(3) ⩽ f(5).
B Si 0 ⩽ x ⩽ 2 alors f(0) ⩽ f(x) ⩽ f(2).
C On ne peut pas comparer f(0) et f(4).
D On ne peut pas comparer f(2) et f(9).
Réponses justes : A et C
• La réponse A est vraie car sur [3 ; 6] f est croissante
• La réponse B est fausse car f est décroissante sur [0 ; 2] donc f(2) ⩽ f(x) ⩽ f(0).
• La réponse C est vraie car on sait simplement que 4 ⩽ f(0) ⩽ 10 et que 4 ⩽ f(4) ⩽ 7.
• La réponse D est fausse car f(2) > 0 (car 4 ⩽ f(2) ⩽ 10) et f(9) < 0 (car –4 ⩽ f(9) ⩽ –1), donc
f(2) > f(9)
Fonctions polynômes du second degré
Exercice 5.
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x2 – 4x – 3.
A f admet comme tableau de variations :
B f peut s’écrire de la façon suivante : f(x) = 2(x – 1)2 + 3.
C f est positive pour tout réel x.
D Le maximum de la fonction sur ℝ est 1.
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Réponse juste : A
• La réponse A est vraie car f ( x) = 2( x − 1) 2 − 5 , donc (1 ; –5) est le sommet de la parabole et
puisque a = 2 la fonction est d’abord croissante puis décroissante.
• La réponse B est fausse car 2( x − 1) 2 + 3 = 2 x 2 − 4 x + 2 + 3 = 2 x 2 − 4 x + 5 ≠ f ( x)
• La réponse C est fausse car f(1) = –5 < 0.
• La réponse D est fausse f n’admet pas de maximum, elle admet par contre un minimum égal à –5
pour x = 1.
Exercice 6.
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = –(x – 1)2 + 3.
A La courbe représentative de la fonction f est représentée par la figure suivante :
B f peut s’écrire de la façon suivante : f(x) = –x2 + 2x + 2.
C L’équation f(x) = 0 n’admet aucune solution sur ℝ.
Réponse juste : B
• La réponse A est fausse car la courbe 𝒞f passe par le point (1 ; 1) alors que f(1) = 3.
• La réponse B est vraie car : f ( x) = −( x − 1) 2 + 3 = − x 2 + 2 x − 1 + 3 = − x 2 + 2 x + 2 .
• La réponse C est fausse car f ( x) = 0 ⇔ − x 2 + 2 x + 2 = 0 .
On trouve : ∆ = 12.
Donc : x1 =
−2 − 12 2 + 2 3
−2 + 12 2 − 2 3
=
= 1 + 3 et x2 =
=
= 1− 3 .
−2
2
−2
2
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Exercice 7.
Soit f la fonction définie sur ℝ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous :
A L’expression de la fonction f est f(x) = x2 – 6x + 5.
B L’inéquation f(x) > 5 admet ]0 ; 6[ comme ensemble solution.
C f est négative sur ]–∞ ; 3]et positive sur [3 ; +∞[.
Réponse juste : A
• La réponse A est vraie car f s’écrit sous la forme f(x) = α(x – β)2 + γ. Or le sommet de la parabole a
pour coordonnées (3 ; –4) donc f(x) = α(x – 3)2 – 4.
De plus, graphiquement, on constate que f(1) = 0 donc α(1 − 3) 2 − 4 = 0 ⇔ 4α = 4 ⇔ α = 1 .
Soit finalement f ( x) = ( x − 3) 2 − 4 = x 2 − 6 x + 9 − 4 = x 2 − 6 x + 5 .
• La réponse B est fausse : l’inéquation f(x) > 5 admet ]–∞ ; 0[∪]6 ; +∞[comme ensemble solution car
on veut que la courbe 𝒞f se situe strictement au dessus de la droite d’équation y = 5.
• La réponse C est fausse : f est négative sur [1 ; 5] et positive sur ]–∞ ; 1]∪[5 ; +∞[.
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