TP : Equations du 2 degré à coefficients complexes

TP :
Equations du 2nd degré à coefficients complexes
Racines carrées d’un nombre complexe
On désire rechercher la racine carrée d’un nombre complexe donnée de manière algébrique, par exemple
c = 9 + 7i .
Méthode :
1) On cherche donc un nombre complexe z = x + iy tel que z 2 = 9 + 7i , x et y étant des réels.
2) On développe z 2 = ( x + iy )( x + iy )
z 2 = (x + iy )( x + iy ) = x 2 − y 2 + 2 xyi
On repère la partie réelle : x 2 − y 2 + 2 xy
Et la partie imaginaire : 2 xy
x 2 − y 2 = 9
Par identification avec c, on obtient : 
 2 xy = 7
Par ailleurs, On calcul le module de c, que l’on identifie au module de z.
c = 9 2 + 7 2 = 130
z2 = x2 + y2
On obtient x 2 + y 2 = 130
 x2 − y2 = 9

3) On doit donc résoudre le système suivant :  x 2 + y 2 = 130

2 xy = 7

2 y 2 = −9 + 130
 x2 − y2 = 9
 2
 2
2
 x + y = 130 ssi  2 x = 9 + 130


2 xy = 7
2 xy = 7


L1←L2-L1
L2←L1+L2
 2 − 9 + 130
y =
2

9 + 130

ssi  x 2 =
2

2
xy
=
7



 x = ± 9 + 130
Ce qui donne a priori quatre couples de solutions : 
, soit pour z :
 y = ± − 9 + 130
z1 = 9 + 130 + i − 9 + 130
z 2 = − 9 + 130 + i − 9 + 130
z 3 = − 9 + 130 + i − 9 + 130
z 4 = − 9 + 130 − i − 9 + 130
Ce qui fait beaucoup trop car z = 9 + 7i a deux solutions (équation de degré 2).
2
4) En utilisant la dernier équation du système : 2 xy = 7 , on retient z1 et z 4 , car xy doit être strictement
positif !
Ainsi S=
{ 9+
130 + i − 9 + 130 ;− 9 + 130 − i − 9 + 130
Exercice : Résoudre en utilisant la même méthode.
a) z 2 = 1 + 3i
b) z 2 = −12 − 3i
c) 5 z 2 = 25 − 50i
TS MAI
©EPoulin
}
d) ( z + 3i ) = 4 + i (6 z − 2 )
2
Résolution d’une équation du 2nd degré à coefficents complexes
La résolution d’une équation du second degré est maintenant très simple :
En effet, on peut démontrer facilement (à partir de la forme canonique) que l’équation az 2 + bz + c = 0
(avec a, b, c complexe et a ≠ 0 ) admet deux solutions déterminées de la manière suivante :
• On calcule le discriminant ∆ = b 2 − 4ac admet : (ATTENTION ∆ est un nombre complexe !)
•
On cherche alors le nombre complexe δ tel que δ 2= ∆ . ( δ est une racine carrée complexe de ∆ ).
•
Les solutions s’écrivent : z1 =
−b +δ
−b −δ
et z 2 =
2a
2a
Remarque :
Pour tout nombre complexe z, az 2 + bz + c = a ( z − z1 )( z − z 2 )
z1 + z 2 = −
b
c
et z1 z 2 =
a
a
Exemple : Résoudre : (1 + i )z 2 − 3 z + 2 − i = 0
∆ = b 2 − 4ac = (− 3) − 4(1 + i )(2 − i ) = 9 − 8 − 4 − 4i = −3 − 4i
On calcule les racines carrées de ∆ par la méthode précédente. Si d et –d sont les racines carrées de
,
on
a
:
∆
3+ d
3−d
z1 =
et
z2 =
2(1 + i )
2(1 + i )
2
Dans notre cas, d = 1 − 2i et − d = −1 + 2i
Les solutions s’écrivent : z1 =
4 − 2i
= 1,5 − 1,5i
2(1 + i )
Exercice : Résoudre
a) (1 + 4i )z 2 − (2 − 3i )z + 1 − 2i = 0
b) (4i )z 2 + (2 − 3i )z − 5 − 2i = 0
c) 4 z 2 − (1 − 7i )z + 3 − 2i = 0
d) 4 z 2 − 3 z + 19 = 0
e) 4 − i 5 z 2 − (1 − 7i )z + 3 − i = 0
(
)
MAI1 : Travail Autonome
Méthode de travail
•
•
•
Travailler en binôme ou en trinôme.
Comprendre le principe et les étapes.
Faire les exercices et confronter vos résultats.
TS MAI
©EPoulin
et
z2 =
2 + 2i
=1
2(1 + i )