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Cours
Æ Equation du second degré
Vocabulaire et interprétation graphique
f ( x ) = 0 où f désigne la fonction définie sur \ comme suit : f : x 6 ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ).
La fonction f est une fonction polynôme de degré deux encore appelée, par abus de langage,
« trinôme du second degré ».
Æ Résoudre l’équation ax 2 + bx + c = 0 revient alors à déterminer l’abscisse des éventuels
points d’intersection de la courbe représentative de la fonction f (rappelons qu’il s’agit d’une
parabole) et de l’axe des abscisses.
Mise sous forme canonique
Une fois encore, les identités remarquables vont nous être utiles :
b
c⎞
⎛
ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + x + ⎟
a
a⎠
⎝
2
⎛⎛
b ⎞
b2 c ⎞
= a⎜⎜ x + ⎟ − 2 + ⎟
⎜⎝
a ⎟⎠
2 a ⎠ 4a
⎝
2
⎛⎛
b ⎞
b 2 4ac ⎞
= a⎜⎜ x + ⎟ − 2 + 2 ⎟
⎜⎝
2 a ⎠ 4a
4a ⎟⎠
⎝
2
⎛⎛
b ⎞ b 2 − 4ac ⎞
= a⎜⎜ x + ⎟ −
⎟
⎜⎝
2a ⎠
4a 2 ⎟⎠
⎝
2
⎛⎛
b ⎞ b 2 − 4ac ⎞
2
a⎜⎜ x + ⎟ −
⎟⎟ s’appelle « la forme canonique » du trinôme ax + bx + c .
2
⎜⎝
2a ⎠
4a
⎝
⎠
On pose alors ∆ = b 2 − 4ac . ∆ est appelé « le discriminant » de l’équation ax 2 + bx + c = 0 .
2
⎛⎛
∆ ⎞
b ⎞
On a finalement : ax + bx + c = a ⎜ ⎜ x + ⎟ − 2 ⎟ .
⎜⎝
2a ⎠ 4a ⎟⎠
⎝
2
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[1-4]
Novembre 2005
Résolution de l’équation ax 2 + bx + c = 0
La forme canonique obtenue précédemment va nous permettre de conclure.
Nous menons la discussion d’après le signe de ∆ :
•
1er cas : ∆ < 0
b ⎞
b ⎞
∆
∆
⎛
⎛
Dans ce cas, on a : ⎜ x + ⎟ ≥ 0 et − 2 > 0 . D’où : ⎜ x + ⎟ − 2 > 0 .
4a
2a ⎠
2a ⎠ 4a
⎝
⎝
2
⎛⎛
b ⎞
∆ ⎞
Finalement : a ⎜ ⎜ x + ⎟ − 2 ⎟ ≠ 0 et l’équation ax 2 + bx + c = 0 n’admet pas de
⎜⎝
2a ⎠ 4a ⎟⎠
⎝
solution.
2
2
Æ La courbe représentative de la fonction f ne coupe pas l’axe des abscisses.
Exemple
On a fourni ci-dessous une partie de la représentation graphique de la fonction f
définie par : f ( x ) = x 2 + 2 x + 2
j
O
•
i
H
2ème cas : ∆ = 0
2
2
b ⎞
b ⎞
⎛
⎛
L’équation se récrit : a ⎜ x + ⎟ = 0 soit : ⎜ x + ⎟ = 0 .
2a ⎠
2a ⎠
⎝
⎝
b
.
L’équation admet donc une seule solution : x0 = −
2a
Æ La courbe représentative de la fonction f coupe l’axe des abscisses en un unique
point qui est le sommet de la parabole représentant f. De plus, l’axe des abscisses est
tangent à la parabole en ce point.
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[2-4]
Novembre 2005
Exemple
On a fourni ci-dessous une partie de la représentation graphique de la fonction f
2
définie par : f ( x ) = − x 2 + 6 x − 9 = − ( x − 3)
j
O
•
i
H
3ème cas : ∆ > 0
La forme canonique se récrit :
2
2
⎛⎛
⎛ ∆⎞ ⎞
⎛
b
b
b
∆ ⎞⎛
∆⎞
⎞
a ⎜ ⎜ x + ⎟ − ⎜⎜
−
+
⎟⎟ ⎟ = a ⎜⎜ x +
⎟⎟ ⎜⎜ x +
⎟
⎜⎝
2 a ⎠ ⎝ 2a ⎠ ⎟
2a 2a ⎠ ⎝
2a 2a ⎟⎠
⎝
⎝
⎠
⎛
b − ∆ ⎞⎛
b+ ∆ ⎞
= a ⎜⎜ x +
⎟⎟ ⎜⎜ x +
⎟
2a ⎠ ⎝
2a ⎟⎠
⎝
⎛
−b + ∆ ⎞ ⎛
−b − ∆ ⎞
L’équation initiale est alors équivalente à : a ⎜⎜ x −
⎟⎟ ⎜⎜ x −
⎟⎟ = 0 .
a
a
2
2
⎝
⎠⎝
⎠
Elle admet les deux solutions suivantes : x1 =
−b − ∆
−b + ∆
et x2 =
.
2a
2a
Note : x1 ≠ x2 (calculer la différence et conclure).
Æ La courbe représentative de la fonction f coupe l’axe des abscisses en deux points
d’abscisses x1 et x2 .
Exemple
On a fourni ci-après une partie de la représentation graphique de la fonction f définie
par : f ( x ) = x 2 + x − 6 = ( x − 2 )( x + 3)
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Novembre 2005
j
O
i
H
Synthèse
Discriminant
Solutions de ax 2 + bx + c = 0
∆<0
Factorisation de
ax 2 + bx + c = 0
Pas de solution
Une seule solution :
b
x0 = −
2a
Deux solutions distinctes :
−b − ∆
−b + ∆
et x2 =
x1 =
2a
2a
Pas de factorisation
∆=0
∆>0
a ( x − x0 )
2
a ( x − x1 )( x − x2 )
Méthode générale de résolution d’une équation du second degré
Elle repose sur les étapes principales suivantes :
1. Placer tous les termes dans un même membre ;
2. Le cas échéant, factoriser sans développer. Si une factorisation ne semble pas possible,
développer et réduire en ordonnant les termes suivant les puissances décroissantes de
l’inconnue ;
3. Si une factorisation a été effectuée : donner les racines et conclure ;
4. Si aucune factorisation n’a pu être obtenue :
a. Simplifier éventuellement l’écriture de l’équation ;
b. Calculer le discriminant et conclure.
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Novembre 2005