Rappels sur les fonctions
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Rappels sur les fonctions
LES FONCTIONS I - RAPPELS I-1 - Définition Une fonction est une application qui pour tout « x » appartenant à I associe un unique « y » appartenant à J tel que f(x)=y. L’ensemble des point tel f(x)=y est représenté dans un repère orthonormé, et est appelée la courbe représentative de f notée « Cf ». Exemple et contre-exemple: Conséquence importante : L’ensemble des points tels que y=f(x) étant la représentation de f dans un repère notée Cf, alors A(xA,yA) appartient à Cf si et seulement si f(xA)=yA. On dit que A vérifie l’équation de f. Exemple : f(x)=x² Le point A(2,5) n’appartient pas à Cf car : f(2) = 2² = 4 ≠ 5 I-2 - Vocabulaire L’ensemble des x pour lesquels la fonction est définie s’appelle le domaine de définition. « x » s’appelle l’antécédent de y. Il se lit sur la droite des abscisses. « f(x) » s’appelle l’image de x par f. Il se lit sur la droite des ordonnées. II – Fonctions affines II-1 - Définition Ce sont les fonctions définies sur R par : f(x) = mx + p avec m et p appartenant à R. Autre type de définition : qui se lit : « f » est une application de R dans R qui à x associe mx + p. Remarque : - si p=0, f(x)=ax est appelée fonction linéaire. - si m=0, f(x)=p est appelée fonction constante. II-2 - Vocabulaire m = le coefficient directeur ou la pente de la droite affine. Il renseigne sur le comportement la fonction. Si m>0 la droite « monte » Si m=0 le droite « est constante » Si m<0 la droite « descend » p = l’ordonnée à l’origine. II-3 – Tableau de variation Il renseigne sur le comportement de la fonction sur son domaine de définition. Pour la droite affine, on distingue 3 cas : II-4 – Tableau de signe Il faut au préalable résoudre l’équation f(x) = mx + p = 0 Définition : Résoudre une équation c’est trouver l’ensemble des valeur de « x » (x1, x2,…) tel que f(x)=0. (f(x1), f(x2),… est égal à zéro). Résolution : Le tableau de signe renseigne sur le signe de f(x) lorsqu’on parcours la droite des abscisses. Ici je suis dans le cas m>0 Commentaire : Ma fonction passe par « 0 » et elle est toujours croissante. Donc elle est −b négative puis s’annule pour x = , ensuite elle devient positive. a Théorème : La fonction f est affine si et seulement si pour tout réel, a, b on a : f (b) − f (a ) = cons tan te b−a Ce rapport est le coefficient directeur de la droite affine. Il s’agit de « m » dans y = mx + p. Exercice54 – 57 – 65 p72 III – La fonction Carré (x²). III-1 - Définition La fonction carré est la fonction qui pour tout réel « x » associe f(x)=x². Ou Remarque 1 : ici Df = R Remarque 2 : l’ensemble d’arrivée (ou des images) est les réels positifs, ie x² n’est jamais négatif. III-2 – Courbe représentative Tableau à remplir à la calculette. Unité des abscisses= 2cm, pour les ordonnées 2cm. x f(x) -2 4 -1 1 -3/4 0,56 -1/2 0,25 -1/4 0,06 0 0 1/4 0,06 1/2 0,25 3/4 0,56 1 1 2 4 Tracé de la courbe : Propriété : dans un repère orthogonal, la parabole d’équation y=x² admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie. Vocabulaire : le point ou la parabole change de sens s’appelle le sommet. III-3 – Tableau de variation Graphiquement, on voit bien que la courbe est décroissante jusqu'à « 0 », qu’elle vaut zéro à l’origine puis qu’elle est croissante ensuite. III-4 – Tableau de signe Le tableau de signe de f(x)=x² est le suivant : III-5 – Résoudre l’équation x²=a Graphiquement, résoudre f(x) =a revient à trouver l’ensemble des abscisses des points d’intersection entre Cf et la droite d’équation y=a Cas a<0 Cas a=0 Cas a>0 On remarque que Cf est toujours au dessus de y=a. Il n’y a pas d’intersection donc pas de solution. On remarque qu’il n’y a qu’un point d’intersection c’est l’origine O(0,0). On remarque qu’il y a 2 points d’intersections entre la droite y=a et Cf Donc S={0} Donc S={-√a, √a} III-6 – Résoudre l’inéquation x²>a Graphiquement, résoudre l’inéquation f(x)>a revient à trouver l’ensemble des abscisses de points tel que la courbe est strictement au dessus de la droite horizontale y=a. Cas a<0 Cas a=0 Cas a>0 On remarque que Cf est toujours au dessus de y=a. Tous les x conviennent On remarque que le courbe est toujours au dessus de 0 sauf à l’origine O(0,0). On va alors exclure l’abscisse de ce point. On remarque que la courbe est au dessus de y=a pour tous les x<-√a, puis elle passe en dessous, puis à partir de x<√a, elle repasse au dessus. Donc S=R Donc S=]-∞ ;0[ U ]0 ;+∞[ Donc S=]-∞ ;-√a[U]√a ;+∞[ Remarque : - En général les solutions d’une équation sont un ensemble défini d’abscisse de points, noté S= {x1,x2…}. - Alors que pour une inéquation, les solutions sont des intervalles d’abscisse de points noté S= [x1 ;x2] ou bien ]x1 ;x2[ ou bien ]x1 ;x2]U[x3 ;x4[ U se lit « union » 1 IV – La fonction inverse ( ) x IV-1 - Définition La fonction inverse est la fonction qui pour tout « x » appartenant à R* = ]-∞ ;0[ U ]0 ;+∞[ associe son inverse. Soit : IV-2 – Représentation graphique x f(x) -2 -0.5 -1 -1 -1/2 -2 -1/4 -4 0 error 1/4 4 1/2 2 1 1 2 0.5 Représentation graphique : Propriété : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction inverse admet l’origine comme centre de symétrie. 1 s’appelle une hyperbole. x Les droites en jaune, que la fonction f(x) approche sans jamais toucher s’appellent : Asymptotes (horizontale et verticale). Vocabulaire : La courbe représentative de f ( x) = IV-3 – Tableau de variation Graphiquement, on voit bien que la courbe est décroissante de – l’infini à 0, puis qu’elle est décroissante de 0 à + l’infini. Elle n’a pas de valeur pour x=0. IV-4 – Tableau de signe Le tableau de signe de f(x)=1/x est le suivant : Pour tous les « x » négatifs, les images obtenue sont négatives (ie f(x)<0), et pour tous les « x » positifs, les images sont positives (ie la courbe est au dessus de la droite des abscisses). IV-5 – Résoudre l’inéquation 1/x>a Graphiquement, résoudre l’inéquation f(x)>a revient à trouver l’ensemble des abscisses de points tel que la courbe est strictement au dessus de la droite horizontale y=a. Cas a<0 Cas a=0 Cas a>0 Cf est au-dessus de y=a dans l’intervalle suivant : S=]-∞ ;-1/a[ U ]0 ;+ ∞[ Pour les x<0 il n’y a pas de solution, par contre pour 0<x<+∞ la courbe est au dessus de l’axe des abscisses. Cf est au dessus de la droite y=a entre 0 et 1/a non inclus Donc S=]0 ;1/a[ Donc S=]0 ;+ ∞[ V- Les fonctions associées aux fonctions de base V-1 – La fonction trinôme (ou Polynôme de degré 2) Définition : Ce sont les fonctions « f » définies sur R par f(x) = ax² + bx + c. Avec a,b,c appartenant à R et a≠0. Remarque : si a=0 alors f(x) = bx + c qui est une fonction affine !!!!! Exemple de fonction trinome : - f(x) = 3x² + 2x + 4 (ici a=3, b=2, c=4) - g(x) = x² + 4x + 4 (ici a=1, b=4, c=4) Autre écriture de g(x) - g(x) = (x+2)² Vocabulaire : La première écriture de g(x) est dite « forme développée » La deuxième écriture de g(x) est dite « forme canonique ». Propriété : La courbe représentative d’une fonction Trinôme est une parabole. - si a>0, le sommet de la parabole est en bas. Donc l’extrêmum de « f » est un minimum - si a<0, le sommet de la parabole est vers le haut. Donc l’extrêmum de « f » est un minimum Remarque importante : si le forme développée d’une fonction Trinôme est de la forme f(x) = ax² + bx + c, alors le forme réduite est de la forme : b b f ( x) = a( x + ) + f (− ) 2a 2a Vu lors de l’activité avec la calculatrice : Si la courbe représentative Cf, de f(x)= x² est une parabole telle que f(0)=0 Alors on peut déduire toutes les fonctions trinômes peuvent se déduire de f(x) de la façon suivante : - f1(x)= x² + 2 est la translation de Cf de vecteur +2i (i= vecteur unité pour les abscisses) - f2(x)= (x + 3)² est la translation de Cf de vecteur -3j (j= vecteur unité pour les ordonnées) - f 3(x)= 4x² est est la courbe Cf qui se contracte 4 fois plus vite (plus resserré autour de l’axe des ordonnées) - f4(x)= 4(x+ 3)²+2 est la courbe Cf contractée puis translatée de vecteur +2i-3j Remarque : pour f(x)=ax² : si a>1 la parabole se resserre Pour f(x)=ax² : si a< 1 la parabole s’ouvre (elle se desserre). V-1 – La fonction homographique Définition : Il s’agit des fonctions de la forme f ( x) = ax + b avec a, b, d appartenant à R et c≠0. cx + d ax + b a b = x + qui est une fonction affine ! d d d nombre _ quelconque La fonction f(x) existe pour tout « x » tel que cx+d≠0 (car n’existe pas !) 0 On a alors x qui doit être différent de -d/c . Remarque : si c=0, alors f ( x) = Le domaine de définition de « f » est donc : ]-∞ ; -d/c[ U ]-d/c ; +∞[