cours : racines carrées

C HAPITRE 8
C OURS : R ACINES CARRÉES
Extrait du programme de la classe de Troisième :
C ONTENU
Calculs élémentaires
sur les radicaux (racines carrées)
Racine carrée d’un
nombre positif.
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
Savoir que, si a désigne un nombre
p
positif, a est le nombre positif
dont le carré est a.
Sur des exemples numériques où a
est un nombre
p utiliser les
¡p ¢2 positif,
égalités : a = a, a 2 = a.
Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que
x 2 = a, où a désigne un nombre
positif.
Produit et quotient de
deux radicaux
Sur des exemples numériques, où a
et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalitésr:
p
p
p p
a
a
=p
ab = a b,
b
b
C OMMENTAIRES
p
La touche
de la calculatrice,
qui a déjà été utilisée en classe
de quatrième, fournit une valeur
approchée d’une racine carrée.
Le travail mentionné sur les
identités
remarquables
permet
d’écrire
des
égalités
¢
¢ ¡p
¡p
2 − 1 = 1,
2+1
comme :
p ¢2
p
¡
1 + 2 = 3 + 2 2.
Ces résultats, que l’on peut facilement démontrer à partir de la définition de la racine carrée d’un
nombre positif, permettent d’écrire
des égalités r
telles que :
p
p
p
2
1
4
5
45 = 3 5,
=p ,p =
.
3
5
3
5
On habituera ainsi les élèves à écrire
un nombre sous la forme la mieux
adaptée au problème posé.
1 Définition
Définition :
Soit a un nombre positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a ; ce nombre est
p
appelé racine carrée de a, et est noté a.
p
p
Vocabulaire : Le symbole est appelé radical ; dans l’expression a, a est appelé radicande.
Par exemple :
p
Ï Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 9 : c’est 3. On a donc
9=3
p
Ï Il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à 2, que l’on note 2. Ce nombre n’est
p ni un
nombre décimal, ni un nombre rationnel ; on ne peut écrire sa valeur exacte que sous la forme 2, mais
p
p
on peut en donner une valeur approchée à la calculatrice, en utilisant la touche 2 : 2 ≃ 1,414213562
Ï Les nombres positifs dont la racine carrée est un entier sont appelés carrés parfaits ; voici la liste des
premiers carrés parfaits :
a
p
a
3ème
1
1
4
2
9
3
16
4
25
5
36
6
49
7
64
8
81
9
Page 1/3
100
10
121
11
144
12
169
13
196
14
225
15
Cours racines carrées
Premières propriétés :
¡p ¢2
Ï Pour tout nombre a positif,
on
a
a =a
( p
a 2 = a si a Ê 0.
Ï Pour tout nombre a, on a p 2
a = −a si a É 0.
La preuve de ces égalités est directement reliée à la définition précédente, à savoir :
¡p ¢2
p
Ï a est le nombre positif dont le carré est égal à a, ce qui se traduit par a = a
p
2
.
Ï a 2 est le nombre positif dont le carré
p est égal
p àa p
2
Par exemple, pour a = 3, p
cela donne
a 2 = a si a Ê 0.).
p 3 = 9=3( p
Pour a = −5, cela donne (−5)2 = 25 = 5 = −(−5) ( a 2 = −a si a É 0.)
2 Produit, quotient de racines carrées
Propriété :
Pour tous nombres positifs a et b, on a
p
a ×b =
p
p
a× b
Preuve
:
³p
p ´2 ³p
p ´ ³p
p ´ ¡p
p ´ ¡p ¢2 ³p ´2
p ¢ ³p
a × b = a × b × a × b = a × a × b × b = a × b = a ×b
p
Or, par définition,
a ×b p
est l’unique nombre positif dont le carré est égal à a × b.
p
p
On a donc a × b = a × b
Propriété :
Pour tous nombres positifs a et b (b 6= 0), on a
r
p
a
a
=p
b
b
Preuve
:
¡p ¢2
p
p
p
µ p ¶2 p
a
a
a
a
a× a
a
=p ×p =p
p
p = ³p ´2 =
b
b
b
b
b× b
b
p
r
r
a
a
a
a
Or, par définition,
est l’unique nombre positif dont le carré est égal à . On a donc
=p
b
b
b
b
Exemples d’utilisation :
p
p
p
p
Ï 2 × 18 = 2 × 18 = 36 = 6
p
p
p
p
p
p
Ï 45 = 9 × 5 = 9 × 5 = 3 × 5 = 3 5
p
r
9
9
3
=p =
Ï
16
16 4
p
r
3
9
9
Ï
=p =p
5
5
5
p
p
r
r
1 1
3
3
1
Ï p =
=
=p =
27
9
27
9 3
B Attention
:
En règle générale,
p
a + b 6=
p
Un exercice
important
p
p
p:
Ecrire 45 + 2 5 − 3 20 sous la forme la plus
simple possible.
p
p
p
45 + 2 5 − 5 20 =
=
=
=
=
=
p
p
p
9×5+2 5−5 4×5
p p
p
p p
9 5+2 5−5 4 5
p
p
p
3 5+2 5−5×2 5
p
p
p
3 5 + 2 5 − 10 5
p
(3 + 2 − 10) 5
p
−5 5
p
a+ b
Voyez
l’exemple
suivant :
p
p
p
p
p
p
p
16 + 9 6= 16 + 9 ; en effet : 16 + 9 = 4 + 3 = 7 mais 16 + 9 = 25 = 5
3ème
Page 2/3
Cours racines carrées
3 Equation x 2 = a
Un résultat important :
p
p
Ï Si a > 0, l’équation x 2 = a a deux solutions, qui sont a et − a
Ï Si a = 0, l’équation x 2 = a a une seule solution, qui est 0.
Ï Si a < 0, l’équation n’a aucune solution
Preuve :
Si a > 0 alors x 2 = a
x2 − a = 0
¡p ¢2
2
¡x − p a¢ ¡ = 0p ¢
x− a x+ a =0
Un produit est nul si et seulement si
au moins l’un des facteurs est nul
p
p
x − a = 0 ou x + a = 0
p
p
x = a ou x = − a
Par exemple :
Ï l’équation x 2 + 4 = 0, qui équivaut à
x 2 = −4, n’a pas de solution ; en effet, un
carré est toujours positif.
Ï l’équation 2x 2 + 3 = 3 + x 2 , qui équivaut à
x 2 = 0, a une unique solution, qui est x = 0.
2
Ï l’équation 3x 2 −6 = 9, qui équivaut
p
pà x = 5,
a deux solutions, qui sont 5 et − 5.
4 Comment éliminer le radical du dénominateur d’une fraction ?
Premier exemple :
p
2 3+1
On considère le nombre A =
p
5 2
On va multiplier le numérateur
et le dénominap
teur depcette fraction
par
p
p obtient
p :
p alors
p p2. On
(2 3 + 1) × 2 2 3 2 + 2 2 6 + 2
=
A=
=
p
p
5×2
10
5 2× 2
Deuxième exemple :
p
2
On considère le nombre A = p
2+1
On va multiplier le numérateur
¡p et ¢le dénomina2 −¡p
1 , qui¢ est apteur de cette fraction par
pelée expression conjuguée de 2 − 1 . On obtient alors :
p
¡p
¢
p
p
2× 2−1
2− 2
A = ¡p
= 2− 2
¢ ¡p
¢ = ¡p ¢2
2+1 × 2−1
2 −1
5 En géométrie
Diagonale d’un carré
Soit ABC D un carré de côté 1
d 2 = AC 2 p
= B A 2 + BC 2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 d’où
d = AC = 2
C
D
1
d=
p
2
Hauteur d’un triangle équilatéral
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1
¡ ¢2
h 2 = AH 2 = B A 2 −B H 2 = 12 − 21 = 1− 14 = 43 d’où
q
p
p
h = AH = 34 = p3 = 23
4
C
◦
1 30 p 1
h = 23
1
45◦
A
60◦
B
On en déduit les valeurs exactes
des cosinus, sinus et tangentes des
angles de 30, 45 et 60 degrés :
A
Mesure de l’angle (en degrés)
30◦
45◦
60◦
Sinus de l’angle
1
2
p
3
2
p
2
2
p
2
2
p
3
2
p1
3
1
Cosinus de l’angle
Tangente de l’angle
3ème
B
H
Page 3/3
1
2
p
3
Cours racines carrées