Classes de TES-L Composition de mathématiques Décembre 2013

Classes de TES-L
Composition de mathématiques Décembre 2013
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie lors de l’évaluation finale.
Les élèves n’ayant pas la spécialité mathématique traiteront les exercices 1, 2,3 et 4, les élèves
ayant la spécialité mathématique traiteront les exercices 1, 2,3 et 5.
(5 points)
Exercice 1
En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents.
Chacune des années suivantes on a constaté que :
•
10 % des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
•
20 nouvelles personnes s’inscrivaient au club.
On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.
Partie A
On donne l’algorithme suivant :
Entrée
Saisir n entier positif
Traitement
X prend la valeur 80
Pour i allant de 1 à n
Affecter à X la valeur 0,9X + 20
Fin Pour
X prend la valeur de X arrondie à l’entier inférieur
Sortie
Afficher X
1) Pour la valeur n = 2 saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ?
2) Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur n = 2 saisie, le nombre
affiché à la sortie de cet algorithme.
Partie B
1) On considère la suite (an) définie par a0 = 80 et, pour tout entier naturel n,
an+1 = 0,9an + 20.
Pour tout entier naturel n, on pose : bn = an – 200.
a) Démontrer que (bn) est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier
terme.
b) Exprimer bn en fonction de n.
2) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : an = 200 - 120×0,9n.
3) Quelle est la limite de la suite (an) ?
Partie C
1) L’objectif du club est d’atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ?
2) Même question si l’objectif du président du club est d’atteindre au moins 300 adhérents.
1
Classes de TES-L
Exercice 2
Composition de mathématiques Décembre 2013
(5 points)
Pour les questions 1 à 4, une seule des réponses proposées est exacte.
Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse
inexacte ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
→→
On donne ci-dessous, dans un repère (O; i , j ), la courbe représentative (C) d'une fonction
définie et dérivable sur [0;8].
On sait que :


8 
,
e 
•
la courbe (C) passe par les points O(0;0) et A 2;
•
la tangente à (C) en O est la droite (T) qui passe par le point de coordonnées (1;4),
•
la tangente à (C) en A est parallèle à l'axe des abscisses.
1) Le nombre f'(0) est égal :
a.
-1
b.
0
c.
4
2) L'inéquation f'(x) ≥ 0 a pour ensemble de solutions :
a.
[0;8]
b.
[0;2]
c.
[0;2[
b.
-1
c.
1
b.
1 solution
c.
2 solutions
3) f'(2) =
a.
0
4) L'équation f(x) = 2 admet sur [2;8]
a.
aucune solution
5) Donner le tableau de variations de la fonction f sur [0;8].
6) Donner le tableau de signe de f(x) sur [0;8].
7) Donner le tableau de signe de f'(x) sur [0;8].
2
Classes de TES-L
Exercice 3
Composition de mathématiques Décembre 2013
(5 points)
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute
la production est vendue.
L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note x le nombre de
milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (x varie donc dans l’intervalle [0 ;3,6]).
Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d’euros.
L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées
indépendamment l’une de l’autre.
Partie A
On a représenté, en annexe, la fonction B dans un repère du plan.
Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.
Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une
réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.
1) Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit
supérieur ou égal à 13 000 euros.
2) Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?
Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ?
Partie B
Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d’euros vaut
B(x) = -5 + (4 – x)ex.
1) a) On note B’ la fonction dérivée de la fonction B.
Montrer que pour tout réel x de l’intervalle I = [0 ;3,6], on a : B’(x) = (3 – x)ex.
b) Déterminer le signe de la fonction B’ sur l’intervalle I.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle I. On indiquera les
valeurs de la fonction B aux bornes de l’intervalle.
2) a) Justifier que l’équation B(x) = 13 admet deux solutions x1 et x2, l’une dans l’intervalle
[0 ;3] et l’autre dans l’intervalle [3 ;3,6].
b) A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune
des deux solutions.
c) Répondre alors de manière plus précise aux questions 1 et 2 de la partie A.
3
Classes de TES-L
Composition de mathématiques Décembre 2013
Exercice 4 : pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité maths
(5 points)
On étudie l'évolution des ventes d'un nouveau produit. Cette évolution est modélisée par la
1
fonction f définie sur [0;12] par f(x) = x3 – 11x² + 112x où f(x) est le nombre d'unités vendues
3
par jour et x le temps écoulé en mois depuis le lancement de ce produit.
1) Etudier les variations de f sur [0;12]. Dresser le tableau de variation de f.
2) A quel moment le nombre d'unités vendues est-il maximal au cours de la première année
de commercialisation ?
Quel est alors ce nombre maximal ?
3) Démontrer que l'équation f(x) = 350 admet une solution unique α sur l'intervalle [8;12].
Interpréter la solution de cette équation.
4
Classes de TES-L
Composition de mathématiques Décembre 2013
Exercice 5 : pour les élèves suivant l'enseignement de spécialité maths
(5 points)
Sur le graphe ci-dessous, les sept sommets A, B, C, D, E, F et G correspondent à sept villes.
Une arête reliant deux de ces sommets indique l’existence d’une liaison entre les deux villes
correspondantes.
1) Quel est l’ordre de ce graphe ?
2) Ce graphe est-il complet ?
3) Ce graphe est-il connexe ?
4) Donner la matrice d’adjacence de ce graphe.
5) Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d’une des
sept villes et y revient en passant une fois et une seule par toutes les autres villes ?
6) Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F.
(Justifier). Citer ces chemins.
5
Classes de TES-L
Composition de mathématiques Décembre 2013
Annexe
6
Classes de TES-L
Composition de mathématiques Décembre 2013
CORRECTION
(5 points)
Exercice 1
Partie A
1)
i
.
1
2
Etape 1
Etape 2
X
80
0,9×80 + 20 = 92
0,9×92 + 20 = 102,8
Pour n = 2, la valeur affichée par l'algorithme est 102.
2) Le nombre affiché correspond au nombre d'adhérents en l'année 2007.
Partie B
1) a)
bn+1 = an+1 – 200 = 0,9an + 20 – 200 =0,9an – 180 = 0,9(bn + 200) – 180
bn+1 = 0,9bn + 0,9×200 – 180 = 0,9bn
On reconnait la définition récurrente d'une suite géométrique de raison 0,9.
b0 = a0 – 200 = 80 – 200 = -120
Donc (bn) est la suite géométrique de raison q = 0,9 et de premier terme b0 = - 120.
b)
bn = b0×qn = -120×0,9n
2) an = bn + 200 = 200 - 120×0,9n
3) Comme 0 < 0,9 < 1 alors lim 0,9n = 1
Donc lim an = 200
Partie C
1) On souhaite que an ≥ 180.
On peut remarquer que la suite (an) est croissante.
Le tableau suivant des valeurs de (an) permet de conclure :
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Année
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
a(n)
80
92
102,8
112,52
121,268
129,1412
136,22708
142,604372
148,343935
153,509541
158,158587
162,342728
166,108456
169,49761
172,547849
7
Classes de TES-L
15
16
17
18
19
20
2020
2021
2022
2023
2024
2025
Composition de mathématiques Décembre 2013
CORRECTION
175,293064
177,763758
179,987382
181,988644
183,789779
185,410801
L'objectif est atteint en 2023 (a17 < 179 et a18 > 180).
2) Comme la suite (an) est croissante et que sa limite est 200, l'objectif d'atteindre 300
adhérents n'est pas réalisable.
(5 points)
Exercice 2
1) Le nombre f'(0) est égal :
a.
-1
b.
0
c.
4
2) L'inéquation f'(x) ≥ 0 a pour ensemble de solutions :
a.
[0;8]
b.
[0;2]
c.
[0;2[
b.
-1
c.
1
b.
1 solution
c.
2 solutions
3) f'(2) =
a.
0
4) L'équation f(x) = 2 admet sur [2;8]
a.
aucune solution
5) Donner le tableau de variations de la fonction f sur [0;8].
x 0
f'
2
8
+
8/e
f(x)
≈ 0,5
0
6) Donner le tableau de signe de f(x) sur [0;8].
f(x) > 0 sur ]0;8] et f(0) = 0
7) Donner le tableau de signe de f'(x) sur [0;8].
x
f'(x)
0
2
+
0
8
-
8
Classes de TES-L
Composition de mathématiques Décembre 2013
CORRECTION
(5 points)
Exercice 3
Partie A
1) On lit les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est supérieure à 13.
Soit environ l'intervalle [2,5;3,4].
Ce qui correspond à une production de poulies comprise entre environ 2500 et 3400.
2) On lit les coordonnées du point de la courbe dont l'ordonnée est la plus grande.
Soit environ (3;15,1).
Le bénéfice maximum est d'environ 15 100 € et il est atteint pour N = 3 000 poulies
produites.
Partie B
1) a) B(x) = -5 + (4 – x)ex.
B(x) = -5 + u(x)×v(x).
Avec u(x) = 4 – x et v(x) = ex
B est une fonction dérivable sur [0;3,6] en tant que somme et produit de deux
fonctions dérivables sur cet intervalle.
Donc B'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Or u'(x) = -1 et v'(x) = ex
D'où : B'(x) = -1×ex + (4 – x)×ex = ex[-1 + (4 – x)] = ex(3 – x)
b) Comme ex > 0 pour tout x réel, alors B'(x) est du signe de 3 – x.
Donc sur [0;3], B'(x) ≥ 0 et sur [3;3,6], B'(x) ≤ 0.
c) Tableau de variation de f :
9
Classes de TES-L
Composition de mathématiques Décembre 2013
CORRECTION
x 0
f'
3
+
3.6
e3 - 5
-
f(x)
-5 + 0,4×e3,6
-1
B(0) = -5 + 4e0 = -5 + 4 = -1
B(3) = -5 + (4 – 3)e3 = -5 + e3 ≈ 15,09
B(3.6) = -5 + (4 – 3,6)e3,6 = -5 +0,4×e3.6 ≈ 9,64
2) a) La fonction B est continue, strictement croissante sur [0 ;3] et f(0) < 13 et f(3) >
13, donc selon la propriété des valeurs intermédiaires l’équation B(x) = 13 admet une
solution unique nommée x1 sur [0 ;3].
La fonction B est continue, strictement décroissante sur [3 ;3,6] et f(3) > 13 et f(3,6)
< 13, donc selon la propriété des valeurs intermédiaires l’équation B(x) = 13 admet une
solution unique nommée x2 sur [3 ;3,6].
Conclusion : sur l’intervalle [0 ;3,6] l’équation B(x) = 13 admet deux solutions x1 ∈
[0 ;3] et x2 ∈ [3 ;3,6].
b) A l’aide de la calculatrice à partir d’une méthode par balayage, on obtient :
x1 ≈ 2,46 et x2 ≈ 3,40.
c) Le bénéfice dépasse 13 000 € pour un nombre de poulies fabriquées compris entre
environ 2 460 et 3400 poulies.
Le bénéfice maximal est d'environ 15 090 € et il est atteint pour 3 000 poulies
fabriquées.
Exercice 4 : pour les élèves ne suivant pas l'enseignement de spécialité maths
(5 points)
1) f est dérivable sur [0;12] en tant que polynôme de degré 3.
1
f'(x) = ×3x² - 11×2x + 112 = x² - 22x + 112.
3
On étudie le signe du polynôme du second degré : x² - 22x + 112.
Le discriminant est ∆ = (-22)² - 4×1×112 = 36 = 6²
Les solutions de l'équation x² - 22x + 112 = 0 sont donc
22 – 6
22 + 6
= 8 et
= 14
2
2
f' est donc positive sur [0;8] et négative sur [8;12].
f est donc croissante sur [0;8] et décroissante sur [8;12].
10
Classes de TES-L
Composition de mathématiques Décembre 2013
CORRECTION
On en déduit le tableau des variations de f suivant :
x 0
f'
8
+
12
-
1088/3
f(x)
0
f(0) = 0
f(8) =
336
83
1088
- 11×82 + 112×8 =
≈ 363
3
3
2) Le maximum de f est
f(12) =
123
- 112×122 + 112×12 = 336
3
1088
et il est atteint pour x = 8.
3
Le nombre d'unités vendues est-il maximal au bout de 8 mois.
Et ce nombre maximal est environ 363.
3) La fonction f est continue et strictement décroissante sur [8;12] et f(8) > 350 et f(12) < 350,
donc selon la propriété des valeurs intermédiaires l'équation f(x) = 350 admet une solution
unique α sur [8;12].
α correspond au nombre de mois supérieur à 8 tel que le nombre d'unités vendu soit égal à 350.
(Remarque : α ≈ 10,4).
11