Variations d`une fonction

2nde
FICHE n°8
Sens de variation d’une fonction et extremum
I. Observer graphiquement le sens de variations d’une fonction
Exemple On considère une fonction f définie sur [−3 ; +∞[ dont on donne la représentation graphique
suivante :
Sur [−3 ; +∞[, la fonction f
atteint le maximum 3 ,
atteint en x = −3.
5
y
1 est un maximum de la
fonction f sur [−1 ; 5].
Il est atteint en x = 2.
la fonction f l’intervalle
4
A
3
La fonction f est
strictement décroissante
sur l’intervalle [2 ; +∞[.
2
La fonction f est
strictement décroissante
sur l’intervalle [−3 ; −1].
C
1
-4
-3
-2
-1 0
1
2
3
4
6 x
5
-1
−2 est un minimum de la
fonction f sur [−3 ; 2].
Il est atteint en x = −1.
-2
B
-3
La fonction f est
-4
strictement
croissante
sur l’intervalle [−1 ; 2].
-5
D
-6
Remarque : la fonction f ne semble pas admettre de
minimum sur son ensemble de définition [−3 ; +∞[.
Définition
Etudier le sens des variation d’une fonction, c’est indiquer si elle est strictement croissante ou
strictement décroissante ou constante avec les intervalles correspondants.
Chercher un extremum, c’est chercher un minimum et/ou un maximum sur l’intervalle donné.
On résume souvent toutes ces informations à l’aide d’un tableau de variation.
EXERCICE TYPE 1
Dresser un tableau de variation à partir de lectures graphiques
Dresser le tableau de variation de la fonction f ci-dessus représentée.
Solution
x
−3
−1
3
f (x)
2
+∞
antécédents
« abscisses »
?
images
« ordonnées »
1
−2
EXERCICE TYPE 2
Comprendre un tableau de variation
On considère une fonction g définie sur [−4 ; 6] dont le tableau de variations est donné ci-dessous.
x
−4
0
2
6
2
4
g(x)
−4
1
1. Tracer une courbe susceptible de représenter g dans un repère.
2. Pour chacun des intervalles, donner le minimum et le maximum de la fonction g et préciser
pour quelles valeurs de x ils sont atteints.
a. sur [−2 ; 3]
b. sur le domaine de définition [−4 ; 6]
Solution
5
1.
y
D
4
3
2
1
A
-4
B
-3
-2
-1 0
1
2
-1
-2
-3
-4
C
-5
-6
2. a. Sur l’intervalle [−2 ; 3] :
la fonction g admet un minimum −4 atteint en x = 2
et la fonction g admet un maximum 2 atteint en x = 0
b. Sur le domaine de définition [−4 ; 6] :
la fonction g admet un minimum −4 atteint en x = 2
et la fonction g admet un maximum 4 atteint en x = 6
3
4
5
6 x
II. Aspect algébrique des variations d’une fonction
fonction croissante
fonction décroissante
f (b)
f (a)
f (a) < f (b)
f (a) > f (b)
f (a)
f (b)
a
b
a
a<b
b
a<b
On dit qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si pour tout nombre a et b de
Définition
cet intervalle I tel que a < b , on a : f (a) < f (b)
On dit qu’une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si pour tout nombre a et b
de cet intervalle I tel que
Remarque
a < b , on a : f (a) > f (b)
Autrement dit, une fonction strictement croissante conserve l’ordre, tandis qu’une fonction
décroissante inverse l’ordre…
EXERCICE TYPE 3
Comparer des nombres à l’aide des fonctions usuelles
Pour cet exercice, il peut être nécessaire de revoir les propriétés de certaines fonctions usuelles,
notamment la fonction « carré » et la fonction « inverse » de la fiche « Exemples d’étude de fonctions ».
Dans chaque cas, comparer les deux nombres suivants :
a. (3,1)2 et (3,0999)2 ;
Solution
b. (−2, 1)2 et (−1,9)2
c.
1 1
et ;
3 π
On utilise les propriétés des fonctions usuelles :
a. Les nombres 3,1 et 3,0999 sont positifs et la fonction x ï x2 est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
Comme 3,1 > 3,0999, alors on a : (3,1)2 > (3,0999)2
b. Les nombres (−2, 1) et (−1,9) sont négatifs et la fonction x ï x2 est strictement décroissante sur
l’intervalle [0 ; +∞[.
Comme (−2, 1) < (−1,9), alors on a : (−2, 1)2 > (−1,9)2
1 1
1
et sont positifs et la fonction x ï est strictement décroissante sur [0 ; +∞[.
3 π
x
1 1
Comme 3 < π, alors on a :
>
3 π
c. Les nombres
III.
Aspect algébrique d’un extremum d’une fonction
Définition
On dit qu’une fonction f admet un maximum M sur un intervalle I si :
- Il existe un réel x0 dans l’intervalle I tel que M = f (x0) ;
- pour tout nombre x de cet intervalle I , on a : f (x) < M
M = f (x0)
f (x) < f (x0)
f (x)
x
Définition
x0
On dit qu’une fonction f admet un minimum m sur un intervalle I si :
- Il existe un réel x0 dans l’intervalle I tel que m = f (x0) ;
- pour tout nombre x de cet intervalle I , on a : f (x) > m
f (x)
f (x) > f (x0)
m = f (x0)
x
x0