Première STMG - Suites numériques

Suites numériques
I) Modes de génération d’une suite numérique
1) Définitions et notations :
Une suite numérique est une application de
→
∶ ↦
•
dans
.
est le terme de rang
• On note aussi
(ou indice
)
la suite dont le terme de rang
• Le premier terme
Remarque : Une suite
suite est définie dans
est
.
de la suite est la valeur initiale de la suite.
∗
peut n’être définie qu’à partir d’un rang 1. Dans ce cas, la
et sa valeur initiale est
Exemple 1 : On définit la suite (
Cette suite est définie sur
est une application de
par: ∖ 0 , c'est-à-dire pour tout entier naturel 1
∖ 0 vers
: ∖ 0 →
↦
1
Son premier terme est =1
Exemple 2 : On définit la suite (
par: etc ….
pour les entiers naturels strictement
supérieur à 3
Cette suite est définie pour tout
3,
est une application de l’ensemble:
3 vers
∈ Son premier terme est =1
etc ….
Exemple 3 : On définit la suite (
par: Cette suite est définie sur
est une application de
vers
: →
1
↦
1
Son premier terme est =1
etc ….
2) Définir une suite par une formule explicite
a) Cas général :
On peut calculer directement chacun des termes d’une suite par la donnée d’une formule
en fonction de
explicite de
Exemple 1 : On définit la suite
Alors
1
= -1
Exemple 2 : On définit la suite
Alors
=(
=
=1
1
=
=
=(
=
par :
=(
par :
=
=
=(
=
1
=1
1
=
=(
=
=
=
=
1
= -1
b) Cas particulier : Avec une fonction.
Dans certains cas, il existe une fonction
peut s’écrire sous la forme :
.
Exemple: On définit la suite
Il existe une fonction
par :
définie sur [0 ;
2 – 3
On a donc :
définie sur [ ; ∞[où la suite
=
2 – 3
∞ [ tel que
1
avec
3
1.
1 alors
0
0
3
0
1
1;
1
1
3
3
3
3
1
1 ;
4
3
3
4
1
1
1
5;
1;
2
2
3
2
1
1;
3) Définir une suite par récurrence
Soit une fonction définie sur
entier naturel
La valeur de
. On définit une suite en posant pour tout
est donnée. On l’appelle « terme initial ».
Remarque : La formule n’est pas explicite, on calcule chaque terme de la suite en
fonction du terme précédent
Exemple : considérons
, avec
On peut donc définir une suite en posant
1
1
3
1
1
1;
5
5
3
5
1
11 ;
.
2
1
1
11
3
1
1
11
3
3
11
1
1
1
5;
89 ; etc …
On constate que cette suite, malgré des apparences qui peuvent sembler
proches de celles du paragraphe précédent, n’est pas du tout la même.
On dira dans ce cas que la suite est donnée par une formule de récurrence
Représentation graphique de la suite
:
II) Sens de variation d’une suite numérique.
1) Définitions :
Soit , une suite numérique. On dit que cette suite est :
• croissante si pour tout ,
• strictement croissante si pour tout • décroissante si pour tout ,
• strictement décroissante si pour tout
Une suite ;
,
;
,
;
.
, est monotone si elle est croissante ou décroissante
Remarque : pour connaître le sens de variation d’une suite, on compare donc
deux termes consécutifs de la suite. On doit faire cela pour tous les termes de la
suite.
2) Méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite
Selon l’expression de la suite
:
• Méthode 1 : On calculera l’expression
Si, Pour tout entier naturel ,,
Si, Pour tout entier naturel ,
En Effet
0 équivaut à
Si la fonction
Si la fonction
aussi
alors la suite est croissante
alors la suite
est décroissante
, on étudie les variations de la fonctions
• Méthode 2 : Dans le cas où
sur [0 ; +∞ [
Pour tout entier naturel
et on étudiera son signe :
,
où
est une fonction définie sur [0 ; + ∞ [
est croissante sur [0 ; + ∞ [ alors la suite
est croissante aussi
est décroissante sur [0 ; + ∞ [ alors la suite
En effet , pour tout entier naturel ,
< 1 , si est croissante alors
si f est décroissante alors
est décroissante
<
>
1
1
Remarque: On peut aussi, sous certaines conditions, calculer l’expression
et
on compare cette expression à 1:
Tout d’abord, il faut prouver que tous les termes de la suite
sont positifs
:
Puis, on calcule
• Si, Pour tout entier naturel ,
1 , alors la suite est croissante
• Si, Pour tout entier naturel ,
1 , alors la suite est décroissante
En Effet, Si tous les termes de la suite
sont positifs,
1 équivaut à
3) Exemples
Exemple 1: On définit la suite
=3
1 +1=3
Pour tout de
=3
1 on a donc :
4
:
3
4
3
1
3
0 donc
Pour tout de
La suite
par :
:
est donc strictement croissante.
Exemple 2: On définit la suite
Pour tout de
:
Pour tout de
:
Comme tous les
=
=4
et
=2
=4
>1,
sont positifs car
on a : pour tout de
par :
,
= 2
et la suite
est donc strictement croissante.
Exemple 3: On définit la suite
1
Soit
par :
∖
=
.Pour tout entier naturel
avec
non nul ,
est strictement décroissante sur ]0 ; +∞ [, comme >
0,
1 . La suite
Exemple 4: On définit la suite
=
1 = ²
1 ²
:
Pour 1 > 0 Donc
:
Pour tout de
est donc strictement décroissante.
par :
2
2
1
2
1
0
par:
=2
La suite
1
Exemple 5: On définit la suite
= ²
est donc strictement croissante.
La suite
avec
1alors pour tout
2
Pour tout de
0 2
4
2
4
6
4
6
4
10
4
10
4
+ 4
14
4>0
est donc strictement croissante.
=
) avec
+4