Chapitre 0 : Quelques rappels à propos de fonctions

Mathématiques 2 e Niv.1 et 2
Deuxième partie : Fonctions
Théorie chapitre 1
CHAPITRE 0
RAPPELS A PROPOS DE FONCTIONS
§ 0.1 Rappel (?) de quelques notions
0.1.1 Zéros d'une fonction et d'une application.
Définition :
On appelle zéro d'une fonction ou d'une application, une valeur de la préimage x dont l'image est
nulle, c'est-à-dire un x tel que f(x) = 0.
Sur le graphique d'une fonction ou d'une application, un zéro est un point où la courbe représentative
rencontre l'axe des x. (Dans les trois cas qui suivent f, g et h sont définies par leurs graphiques et nulle part
ailleurs)
f a deux zéros
g a trois zéros
h n'a pas de zéros
Calculer l'ensemble des zéros d'une fonction revient à chercher l'ensemble des préimages de zéro par cette
fonction.
Exemple :
Soient les fonctions f donnée par f(x) = 3x + 15 et g donnée par g(x) = -x2 + 25. f a un zéro, -5,
alors que g en a deux : -5 et +5. Elles ont donc un zéro en commun, -5. Cela signifie que les deux
courbes se coupent sur l’axe des abscisses en x = -5 .
0.1.2 Croissance et décroissance d'une fonction
Définitions :
Une fonction f est croissante sur un intervalle I = [a; b],
si x1 < x2 , alors f(x1 ) ≤ f(x2 ) et ceci ∀ x1 , ∀ x2 ∈ I.
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I = [a; b]
si x1 < x2 , alors f(x1 ) < f(x2 ) et ceci ∀ x1 , ∀ x2 ∈ I.
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f est strictement croissante
f est croissante
On trouve également pour définir la croissance les deux définitions correspondantes ci-dessous.
Définitions :
Une fonction f est croissante sur un intervalle I = [a; b] , si la différence x2 - x1 étant strictement
positive, la différence f(x2 ) - f(x1 ) est positive ou nulle.
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I = [a; b] , si la différence f(x2 ) - f(x1 ),
étant strictement positive, la différence x2 - x1 est strictement positive aussi.
Il faut remarquer que, si x1 est plus grand que x2 , et par conséquent la différence x2 - x1 est négative,
alors la différence f(x2 ) - f(x1 ) est négative, dans le cas d'une fonction croissante. Cependant, on peut
toujours affirmer que les différences x2 - x1 et f(x2 ) - f(x1 ) sont de même signe.
f croissante ⇔ x2 - x1 et f(x2 ) - f(x1 ) ont le même signe
Exemple :
3
Soit la fonction f définie par f(x) = x . Montrer que la fonction f est strictement croissante.
3
3
2
2
2
2
f(x2 ) - f(x1 ) = x 2 − x1 = (x 2 − x1)(x 1 + x1x2 + x2 )
On peut montrer facilement que (x1 + x1x2 + x2 ) ≥ 0 et donc x 2 − x1 et f(x2 ) - f(x1 ) ont le même
signe.
Pour les fonctions décroissantes, on a de même :
Définitions :
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I = [a; b] ,
si, étant donné x1 < x2 , on a f(x1 ) ≥ f(x2 ) et ceci ∀ x1 , ∀ x2 ∈ I.
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I = [a; b],
si, étant donné x1 < x2 , on a f(x1 ) > f(x2 ) et ceci ∀ x1 , ∀ x2 ∈ I.
f est décroissante
f est strictement décroissante
Il faut remarquer également que, si x1 est plus grand que x2 , f étant décroissante, f(x1 ) sera plus petit que
f(x2 ); on pourra cependant toujours affirmer que les différences
x2 - x1 et f(x2 ) - f(x1 ) sont de signe contraire.
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Exemple :
La fonction f définie par f(x) = -2x est une fonction strictement croissante.
En effet, pour x1 < x2, c’est-à-dire x2 - x1 > 0, on a f(x2) - f(x1) = -2 x2 - (-2 x1) = - 2(x2 - x1 ) < 0
x2 - x1 et f(x2 ) - f(x1 ) sont de signe contraire et la fonction est donc strictement décroissante.
0.1.3* Parité d'une fonction.
Définition :
Une fonction f est paire si f(x) = f(-x) pour tout x ∈ Df.
Exemples :
1.
2
2.
f : x  -x + 4
f:x|x|
Le graphique d'une fonction paire est donc symétrique par rapport à l'axe des y. De plus, toute fonction paire
n'est pas bijective.
Définition:
Une fonction f est impaire si f(x) = -f(-x) pour tout x ∈ Df.
Exemples :
1.
x
1 3
x
2
2.
x  2x
Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine des axes. De plus, si la fonction
est impaire, on a f(0) = 0.
Remarque :
Il est intéressant de déterminer si une fonction est paire ou impaire, car il est possible de porter
l'étude sur un intervalle réduit (
+
par exemple) et d'utiliser les différentes symétries pour la
compléter, d'où une certaine économie de temps et de pensée.
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0.1.4* Valeurs extrêmes, maximales et minimales d'une fonction
Définitions :
Une fonction f prend pour un certain élément x de l'ensemble de départ, une valeur plus grande que
toutes les autres images. Cette valeur est la valeur maximale.
On dit que f atteint un maximum en x0, si f(x0) ≥ f(x) pour tout x ∈ D .
f
L'image f(x0) est une valeur maximale de f et le point M = < x0; f(x0)> est un maximum de la courbe
représentative de f.
On dit que f atteint un minimum en x0 si f(x0) ≤ f(x) pour tout x ∈ D
f
L'image f(x0) est une valeur minimale de f et le point m = < x0; f(x0)> est un minimum de la courbe
représentative de f.
On parle d'extremum, respectivement valeur extrémale lorsqu'on a un maximum ou un minimum,
respectivement une valeur maximale ou une valeur minimale.
Exemple :
2
La fonction f définie par f(x) = x + 1 a un minimum pour x = 0
2
La fonction g définie par g(x) = x - 6x - 8 a un minimum pour x = 3, alors que h définie par h(x) = - x
+ 6x + 8 a un maximum pour x = 3.
3
La fonction k définie par k(x) = x n’a ni maximum, ni minimum.
e
En 3 , une méthode permettant de déterminer les valeurs extrémales sera étudiée.
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