Méthode pour trouver le sens de variation d`une suite

Méthode pour trouver le sens de variation d’une suite
Il est conseillé d’essayer les trois méthodes suivantes dans leur ordre d’apparition.
Méthode 1 :
Pour étudier le sens de variation d'une suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 - un.
En effet, un 1  un  0  un 1  un et un 1  un  0  un 1  un .
Exemple :
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un 
1
.
n2
Etudier le sens de variation de la suite (un).
Pour étudier le sens de variation de la suite (un), on étudie le signe de la différence un+1 - un.
Et, pour tout entier naturel n, n + 3 0 et n + 2 0.
1
Donc : pour tout entier naturel n,
 0.
(n  3)(n  2)
D'où : pour tout entier naturel n, un+1 - un  0, soit un+1  un.
La suite (un) est décroissante.
Méthode 2 : (applicable lorsque tous les un sont strictement positifs)
u
On compare n 1 et 1.
un
un 1
u
 1  un 1  un et n 1  1  un 1  un (dans les 2 cas à condition que un  0 ).
un
un
Exemple :
3n
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un  n .
5
Etudier le sens de variation de la suite (un).
En effet,
Tous les termes de la suite (un) sont strictement positifs. Pour étudier le sens de variation de la
u
3
suite (un), on compare n 1 et 1. Or,  1 , donc la suite (un) est strictement décroissante.
5
un
Méthode 3 : (applicable lorsque (un) est une suite définie par un = f(n), avec f définie sur [0; +
Si f est strictement croissante, alors (un) est strictement croissante.
Si f est strictement décroissante, alors (un) est strictement décroissante.
Exemple :
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un  n  n .
Etudier le sens de variation de la suite (un).
Soit f la fonction définie sur [1 ; + [ par f ( x )  x  x .
La fonction f est définie en particulier sur [1; + [ et est dérivable sur cet intervalle
Pour tout x de [1; + [, f '(x) < 0.
La fonction f est donc strictement décroissante sur [1; + [.
D'où : la suite (un) est strictement décroissante à partir du rang n = 1. (et avant ?)
[)