Fonctions de référence. I Fonction valeur absolue II Fonctions u + k

Cours 1S
I
Fonctions de référence.
Fonction valeur absolue
Définition 1 (Valeur absolue d’un réel). La valeur absolue de x,
notée |x|, est la distance entre x et zéro. Ainsi :
• |x| = x si x est positif ;
• |x| = −x si x est négatif.
Propriété 1. Si A et B sont deux points d’abscisses respectives a et b
sur la droite des réels, alors AB = |a − b| = |b − a|.
II
y = |x|
1
0
1
Fonctions u + k et ku
Définition 2 (Fonction u + k). Soit u une fonction définie sur un ensemble D et k un réel.
La fonction notée u + k est la fonction définie sur D par x 7−→ u (x) + k.
Propriété 1. Dans un plan muni d’un repère (O;~ı ; ~ ), la courbe C u+k est l’image de la courbe Cu par
la translation de vecteur k~.
Définition 3 (Fonction ku). Soit u une fonction définie sur un ensemble D et k un réel.
La fonction notée ku est la fonction définie sur D par x 7−→ k × u (x).
III
Sens de variation d’une fonction
Définition 4. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est :
• croissante sur I lorsque pour tous les réels a et b dans I :
a < b =⇒
• strictement croissante
:
a < b =⇒
• décroissante
:
a < b =⇒
:
a < b =⇒
• strictement décroissante
• monotone sur I lorsque f est croissante sur I ou décroissante sur I.
f (a) 6 f (b)
f (a) < f (b)
f (a) > f (b)
f (a) > f (b)
Méthode : Déterminer le sens de variation d’une fonction.
Énoncé : Prouver que la fonction carré est croissante sur [0; +∞[.
Preuve : Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = x2 . Soit a et b dans [0; +∞[ avec a < b.
On veut comparer f (a) et f (b) pour cela on étudie le signe de leur différence :
f (a) − f (b) = a2 − b2 = (a + b)(a − b) < 0.
| {z } | {z }
>0
<0
Comme a > 0 et b > 0, on a (a + b) > 0. Comme a < b, on a (a − b) < 0. Ainsi (a + b)(a − b) < 0,
soit a2 − b2 < 0 et donc a2 < b2 . On a prouvé que pour tous a et b dans [0; +∞[ on a l’implication :
a < b =⇒ f (a) < f (b). Ainsi f est bien strictement croissante sur [0; +∞[.
Propriété 2. Soit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un nombre réel.
• La fonction u + k a le même sens de variation que u sur I.
• La fonction ku a le même sens de variation que u sur I si k > 0 et de sens contraire si k < 0.
IV
Fonction racine carrée
Définition 5. La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) =
√
x.
Propriété 2. La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
Autres formulations :
√
• plus x est grand, plus x est grand.
• Deux nombres positifs sont rangés dans le
même ordre que leurs racines carrées.
• Dans une inégalité avec des nombres positifs, on peut prendre la racine carrée des deux
membres sans en changer
√ le sens.
Exemple : Je dis que : 1 < √
2 < 2.√
√
Preuve : 1 < 2 < 4, donc : 1 < 2 < 4
y
1+
0
1
+
1
x
Cours 1S
Fonctions de référence.
√
Démonstration. Posons f (x) = x. Soit a et b deux réels tels que 0 6 a < b.
Comparons f (a) et f (b) en étudiant le signe de leur différence :
√ √
√
√
√ 2 √ 2
√ (Astuce !) ( a − b)( a + b)
√
a − b
a−b
√
√ = √
√ .
=
f (a) − f (b) = a − b
=
√
√
a
+
b
a
+
b
a+ b
√
√
a − b < 0 et a + b > 0 donc f (a) − f (b) < 0 donc f (a) < f (b).
Propriété 3 (Positions relatives de
√ courbes).
• ∀x ∈ [0 ; 1] : √x2 6 x 6 x
• ∀x ∈ [1 ; +∞[ : x 6 x 6 x2 .
y = x2
Démonstration.
1er cas : On suppose que 0 6 x 6 1.
On muliplie chaque membre par x :
x2 6 x.
+
La fonction
racine
√
√
√ carrée est croissante sur R donc
x 6 1 donc x 6 1.
√
√
On multiplie chaque membre par x :
x6 x
2nd cas : On suppose que 1 6 x
On muliplie chaque membre par x :
x 6 x2 .
La fonction
racine carrée est
√
√
√ croissante sur [0 ; +∞[
donc 1 6 x donc 1 6 x.
√
√
On muliplie chaque membre par x :
x 6 x.
y=x
y=
√
x
1+
0
+
1
Propriété 4. Si u est une fonction monotone et positive sur un intervalle I, alors la fonction
même sens de variation que u sur I.
√
u a le
Démonstration. Dans le cas où u est croissante sur I. Soit a et b deux réels de I tels que a < b.
u étant croissante sur I, u(a) p
< u(b). De
p plus, u (a) > 0 et u(b) √> 0 et la fonction racine carrée est
croissante sur [0 ; +∞[ donc u (a) 6 u(b). Ainsi, la fonction u est croissante sur I.
La démonstration est analogue lorsque u est décroissante sur I.
√
Propriété 5. Pour tout réel x, on a : x2 = |x|.
— Devoir en temps libre —
En s’inspirant des démonstrations du cours
1
On note f la fonction inverse définie sur R∗ =] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par f (x) = .
x
1. Démontrez que f est strictement décroissante sur chacun des intervalles ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[.
Exercice no 1
2. Soit u une fonction strictement positive et décroissante sur un intervalle I.
1
1
est croissante sur I.
Prouvez que la fonction h = définie sur I par h(x) =
u
u(x)
3. Si maintenant u est une fonction strictement positive et croissante sur l’intervalle I, dire sans
1
démonstration quel sera le sens de variation de h = sur I.
u
4. Complétez l’énoncé de la propriété dont on a démontré un cas et qui commence par :
Soit u une fonction strictement positive (ou strictement négative) et monotone. . .
Application. Différentes composées.
Exercice no 2
On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction u. Déterminez les tableaux de variation
des fonctions ci-dessous sur [−2; 3] en utilisant les propriétés vues en cours et à l’exercice précédent.
.seriaidémretni noitairav ed xuaelbat sed eriaf ed elitu ertê arruop lI
−2
0
0
❅
u(x)
❅
❘
❅
−1
x
1. f (x) = −3u(x) + 2.
1
2. g(x) =
.
u(x) + 1
p
3. h(x) = −2 u(x) + 1.
2
3
4
✒