Première S - Fonctions racine carrée de u

Fonctions √
I) Fonction √ 1) Définition
Soit une fonction définie sur un ensemble D et positive ou nulle sur D
( c’est à dire que pour tout  D on a
≥ 0 ).
La fonction √ est définie pour tout
↦ √
∊ D par :
Exemples
; ∞ alors
1°) Si est la fonction
3
1 sur D = [
2°) Si
4 sur D = ] -∞ ; - 2 ]  [ 2 ; + ∞[
est la fonction
alors √ √
√ √3
1
4
2) Etude
Soit une fonction définie sur un ensemble D, positive ou nulle sur D et
monotone sur l’intervalle I (I ⊂ D).
La fonction √ a sur I le même sens de variation que la fonction .
Démonstration :
1er cas :
Supposons la fonction
Pour tout nombre
strictement croissante sur I :
et deI, si
alors
u étant positive sur I, √ est définie sur I
La fonction √ étant strictement croissante on a
, c'est-à-dire : √
√
Ce qui prouve que la fonction √ est, elle aussi, croissante sur I.
2èmecas :
Supposons la fonction
Pour tout nombre
strictement décroissante sur I :
et deI, si < alors
étant positive sur I, √ est définie sur I
La fonction √ étant strictement croissante on a
, c'est-à-dire : √
√
Ce qui prouve que la fonction √ est strictement décroissante sur I.
On dit que les fonctions et √ ont les mêmes variations sur I.
3) Exemples
1°) Etude de la fonction f définie par
a) La fonction
est de la forme f = √
= √
avec u définie pour tout par
b) La fonction est définie sur l’ensemble où 3 La fonction
sur D
c) Courbes :
1
0 soit sur D =[
3 1
; ∞
est strictement croissante sur D donc f est aussi strictement croissante
2°) Etude de la fonction f définie par f(x) = √
La fonction f est de la forme
=√
avec
définie pour tout
par
=
4
4≥ 0 soit sur
a) La fonction est définie sur l’ensemble où
4 voir la fiche : signe du trinôme)
D =] -∞ ; - 2 ] ∪ [ 2 ; + ∞[
(Pour le signe
b) La fonction est strictement décroissante sur l’intervalle ] -∞ ; - 2 ] donc est aussi
strictement décroissante sur cet intervalle.
La fonction est strictement croissante sur l’intervalle [ 2 ; + ∞[ donc est aussi
strictement croissante sur cet intervalle.
c) Courbes
Exemple plus complexe utilisant plusieurs fiches de cours différentes
Etude de la fonction f définie par f(x) =
La fonction
est de la forme = √
a) La fonction
| |
avec u définie pour tout par
= –| | + 3
est définie sur l’ensemble où –| | + 3 ≥ 0 soit sur D =[ - 3 ; 3 ]
b) La fonction est strictement croissante sur l’intervalle ]-3 ; 0] donc est aussi
strictement croissante sur cet intervalle.
La fonction est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 3[ donc est aussi
strictement croissante sur cet intervalle.
(Voir cours sur les fonctions et
et valeur absolue.)
c) Courbes