Fiche méthode : étudier les variations d`une fonction

Fiche méthode : étudier les variations d’une fonction
1) On calcule la dérivée de f et on étudie son signe
Pourquoi ?
le signe de f ’(x) donne l’inclinaison de la courbe. Si f ’(x) est positif, la courbe
« monte » et f est croissante. Si f ’(x) est négatif, la courbe « descend » et f est
décroissante.
Comment ?
* on calcule la dérivée avec les formules ci-contre.
* on étudie son signe en utilisant le signe d’une fonction affine, d’un polynôme
de degré 2, d’un produit ou d’un quotient
y
Df
5
Dg
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1 O
1
2
3
4
-1
-2
-3
Signe d’une fonction affine :
a x + b ne change de signe qu’une fois en x = −
Si a > 0 :
x
f (x)
−
−b/a
−
+
+
b
(solution de a x + b = 0)
a
Si a < 0 :
x
−
f (x)
+
−b/a
f ’(x) =
a
2x
3 x²
1
−
x²
1
2 x
n xn−1
Fonction f définie par
f (x) = a x + b sur 
f (x) = x² sur 
f (x) = x3 sur 
1
f (x) = sur ]−  ; 0[ ou ]0 ; + [
x
f (x) = x sur ]0 ; + [
f (x) = xn sur  avec n  *
1
n
f (x) = n sur ]−  ; 0[ ou ]0 ; + [
x
− n+1
x
avec n  *
u+v
u’ + v’
1
u’
−
u
u²
uv
u’ v + v’ u
u
u’ v – v’ u
v
v²
u’
u
2 u
u²
2 u’ u
u3
3 u’ u²
un
n u’ un−1
1
n u’
− n+1
un
u
+
−
Signe d’un polynôme du 2ième degré :
le signe de a x² + b x + c peut être constant ou non suivant la valeur de Δ : Δ = b² − 4 a c
−b+ Δ
−b− Δ
si Δ > 0, a x² + b x + c = 0 a 2 solutions : x1 =
et x2 =
2a
2a
et si a > 0 :
si a < 0 :
x
x
−
x1
x2
+
−
x1
x2
f (x)
+
−
+
f (x)
−
+
b
si Δ = 0, a x² + b x + c = 0 a 1 solution : x = −
2a
et si a > 0 :
si a < 0 :
x
x
−
−b/2a
+
−
−b/2a
+
f (x)
+
+
f (x)
−
−
y
3
Pf
2
+
1
−
x
-2
-1 O
1
2
3
-1
-2
-3
-4
si Δ < 0, a x² + b x + c = 0 n’a pas de solution
et si a > 0 :
x
−
+
f (x)
+
-5
si a < 0 :
x
f (x)
-6
−
+
−
Signe d’un produit et d’un quotient :
on applique la règle des signes pour la multiplication en présentant les résultats dans un tableau de signes
Signe d’un carré , d’une somme …
Un carré est toujours positif ; la somme de 2 nombres positifs est positive, la somme de 2 nombres négatifs est négative …
* on conclue avec un tableau de variations liant signe de f ’(x) et sens de variation de f. (à compléter par les valeurs et les limites)
* on vérifie avec une calculatrice.
2) on utilise des propriétés :
La composée de 2 fonctions croissantes ou de 2 fonctions décroissantes est croissante.
La somme de 2 fonctions croissantes est croissante.
La composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante est décroissante.
La somme de 2 fonctions décroissantes est décroissante.
Pg