Première STMG - Fonction polynôme de degré 3
Transcription
Première STMG - Fonction polynôme de degré 3
Fonction polynôme de degré trois. Fonction dérivée I) Définition On appelle fonction polynôme de degré 3, toute fonction polynôme de la forme : ² où , , et sont des réels avec Exemples : 2 polynômes de degré 3. 3 4 5 ² 1 sont des fonctions 2 2 3 n’est pas une fonction polynôme. 7 II) Fonction dérivée d’une fonction polynome de degré trois Soit une fonction polynôme de degré 3 définie sur où , ² , et : sont des réels avec La fonction dérivée de , notée ’, est la fonction définie sur ′ par : +c ² Exemples : Exemple 1: Soit 3 Exemple 2: 2 – 9 2 2 Alors 6 Exemple 3: Soit Alors ′ 12 9 18 12 2 Soit 3 Alors 3 2 3 12 Exemple 4: – 1 3 ² Soit 3 ² 3 1 III) Application à l’étude des variations d’une fonction 1) Théorème Soit une fonction polynôme de degré 3: • Si pour tout d’un intervalle I, alors est croissante sur cet intervalle. • Si pour tout intervalle. d’un intervalle I, alors est décroissante sur cet 2) Exemples d’étude de fonction polynôme de degré 3 Exemple 1: Soit 2 Alors – 9 6 12 2 18 12 Etudions le signe de : 18 6 ∆ 18² 12 4 0 6 12 36 = 0 a deux solutions : = = 2 et = √ = et √ = =1 0 a pour solution 1 et 2 On obtient le tableau de variation suivant : ∞ Signe de ′ 2 9 2 0 0 ∞ 3 Variation de 1 1 2 12 2 3 et 2 2 8 9 4 12 2 2 2 Exemple 2: Soit 3 Alors ′ 3 2 3 : Etudions le signe de 3 3 ∆ 0 36 = 0 a deux solutions : = = -1 et = = √ et = =1 0 a pour solutions -1 et 1 On obtient le tableau de variation suivant : √ 1 1 0 0 ∞ Signe de ′ 4 Variation de 1 1 0 3 0 et 2 1 1 3 2 4 Exemple 3: Soit Alors ′ ′ – 1 3 0 pour et On obtient le tableau de variation suivant : ∞ 0 ∞ Signe de ′ 0 Variation de 0 1 1 Exemple 4: Soit Alors ′ 3 3 1 pour tout de . On obtient le tableau de variation suivant : ∞ ∞ Signe de ′ Variation de 0 ∞