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MPSI B 21 janvier 2017 Énoncé a. Calculer Y0 , Y1 , Y2 b. Montrer que le polynôme S = X 4 + 4X 3 − 2X 2 − 2X − 1 est dans Imf . c. Déterminer une primitive de Pour tout k ∈ N, on désigne par Rk [X] l'espace vectoriel formé par les polynômes de degré inférieur ou égal à k. Soit m et n deux entiers naturels tels que m > 2, 0<n< m 2 X 4 + 4X 3 − 2X 2 − 2X − 1 (X 3 − X + 1)2 Soit A un polynôme unitaire de degré n et I un intervalle de R qui ne contient pas de racine de A. On notera J = J0, mK, sans chercher à décomposer en éléments simples. d. Donner une condition nécessaire et susante que doivent vérier les réels a, b, c, d, e pour que le polynôme aX 4 + bX 3 + cX 2 + dX + e soit élément de Imf . A = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 Soit f l'application de Rm [X] dans R[X] dénie par f (P ) = AP 0 − P A0 où P 0 et A0 sont respectivement les polynômes dérivés de P et A. 1. a. Déterminer en fonction de m et n la valeur maximale p du degré de f (P ). b. Montrer que f est une application linéaire de Rm [X] dans Rp [X] c. Soit Q ∈ R[X] tel que QA ∈ Rm [X]. Déterminer f (QA). d. En utilisant une formule de dérivation sur I , déterminer ker f . En déduire rg f . 2. Pour tout élément i de J , on pose Yi = f (X i ). a. Montrer que la famille de polynômes (Yi )i∈J−{n} est une base de l'image de f . b. En calculant f (A), déterminer les coordonnées de Yn dans cette base. 3. a. Pour tout élément i de J , étudier le degré du polynôme Yi . b. Déterminer la valeur minimale du degré d'un polynôme S non nul dans Imf . c. En utilisant la question 1.c., montrer que tout polynôme de Rp [X] divisible par A2 appartient à Imf En déduire qu'un polynôme S de Rp [X] appartient à Imf si et seulement si le reste R de sa division par A2 appartient à Imf . Pour tout polynôme S de Imf , déterminer alors la valeur maximale de deg R. 4. a. Soit P élément de Rm [X], déterminer l'ensemble des primitives sur I de AS2 avec S = f (P ). b. En déduire une primitive de AYi2 pour tout élément i ∈ J . 5. Dans cette question, m est un entier strictement supérieur à 6. On donne A = X3 − X + 1 Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 1 Rémy Nicolai Aales92 MPSI B 21 janvier 2017 Corrigé 1. c. Un polynôme divisible par A2 est de la forme A2 Q. Il est dans l'image de f car on peut écrire a. Si s 6= n est le degré de P , celui de f (P ) est s + n − 1. Lorsque le degré de P est n, celui de f (P ) est au plus 2n − 2. Le degré maximal est alors p = n + m − 1. b. Linéarité évidente. c. Calcul immédiat : A2 Q = f (AQ1 ) f (QA) = A2 Q0 d. Il est clair que f (P ) = 0 si et seulement si la fonction rationnelle PA est constante. On remarque que la fonction est dénie dans R car le polynôme A est sans racine réelle. Si P est dans le noyau de f , il existe donc un réel λ tel que Pe = λAe. Attention, la relation précédente est relative à des fonctions. On en déduit l'égalité polynomiale en remarquant que P −λA admet une innité de racines. Finalement : 4. ker f = Vect(A) 2. V = Vect X i , i ∈ J est un hyperplan supplémentaire de ker f car il ne peut pas contenir A à cause du degré. On en déduit que la restriction de f à V est injective et donc que 5. i∈J b. Pour i ∈ J , une primitive de AYi2 est a. On trouve après calcul direct : Xi A . b. On peut exprimer S = X 4 + 4X 3 − 2X 2 − 2X − 1 comme combinaison des Yi en utilisant systématiquement le terme de plus haut degré. On obtient S = −Y2 − 2Y1 + Y0 c. On déduit de la question précédente que −X 2 − 2X + 1 A deg(f (P )) = n + deg(P ) − 1 ≥ n − 1 est une primitive de la fraction proposée. d. D'après les questions précédentes, un polynôme P est dans l'image si et seulement si il est combinaison des Yi c'est à dire s'il existe u, v , w tels que Si P est de degré n est n et de coecient dominant λ. avec deg(R) < n avec deg(f (R)) = deg(R) + n − 1 ≥ n − 1 Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ P +C A Y2 = −X 4 − X 2 + 2X a. On a déjà montré que le degré de Yi est n + i − 1. b. Soit S = f (P ) un polynôme non nul dans l'image de f . Montrons que le plus petit degré possible pour S est n − 1 (= deg(A) − 1). Ce degré est atteint pour S = f (1) = −A0 . Si le degré de P n'est pas n. Alors P = λA + R 0 Y1 = −2X 3 + 1 Yn = −a0 X0 − a1 Y1 − · · · − an−1 Yn−1 (pas de terme en ai Yi ) f (P ) = f (R) P A Y0 = −3X 2 + 1 est libre. Comme elle a le bon nombre de vecteurs, c'est une base de l'image. b. On a déjà vu que f (A) = 0. On en déduit : 3. AP 0 − A0 P f (P ) = = A2 A2 sont les fractions rationnelles De plus, rg(f ) = dim Rm [X] − 1 = m. a. On vérie que Yi où Q1 est un polynôme "primitif" (c'est à dire tel que Q01 = Q. Supposons P = A2 Q+R avec R dans l'image. Alors, comme A2 Q est dans l'image, P aussi. Réciproquement, supposons P = f (P1 dans l'image. Écrivons la division P = A2 Q + R de P par A2 . Comme A2 Q = f (Q1 ), R = f (P1 − Q1 ) est aussi dans l'image. La valeur maximale du degré de R est n = (n − 1) + 1 = 2n − 2. a. Les primitives de P = −wX 4 − 2vX 3 − (w + 3u)X 2 + 2wX + v + u 2 Rémy Nicolai Aales92 MPSI B 21 janvier 2017 Le polynôme P est donc dans l'image si et seulement si le système suivant (aux inconnues u, v , w) −w = a −2v = b −w − 3u = c 2w = d v+u=e admet des solutions. On obtient très facilement que la condition cherchée est −2a = d b a − + − c = e 2 3 3 Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 3 Rémy Nicolai Aales92