Lycée Louis-le-Grand 2015-2016 MP*3 Révisions sur les polynômes

Lycée Louis-le-Grand
MP*3
2015-2016
P ROGRAMME DE COLLES
S EMAINE 12 ( DU 11/1 AU 15/1)
Révisions sur les polynômes
– Généralités sur A[X ] lorsque A est un anneau. Division euclidienne dans K [X ] où K est un corps. Principalité de
K [X ]. Arithmétique dans K [X ] (PGCD, Bézout, Gauss). Existence et unicité de la décomposition en facteurs irréductibles. Racines d’un polynôme. Polynôme dérivé. Ordre de multiplicité d’une racine. Calcul de l’ordre de multiplicité d’une racine via les dérivées successives du polynôme lorsque K est de caractéristique nulle. Étude de C[X ] :
théorème de d’Alembert. Description des polynômes irréductibles de C[X ]. Polynôme conjugué d’un polynôme
à coefficients complexes. Description des polynômes irréductibles de R[X ]. Quelques résultats sur les polynômes
irréductibles de Q[X ] (contenu d’un polynôme à coefficients entiers, équivalence, pour un tel polynôme, entre être
irréductible dans Q[X ] et être irréductible dans Z[X ]).
– Quelques rappels et des compléments sur les polynômes symétriques élémentaires.
– Étude de K (X ). Construction (corps des fractions d’un anneau commutatif intègre). Théorème de Gauss-Lucas.
Définition d’un élément simple. Existence et unicité de la décomposition en éléments simples.
Prévisions pour la semaine 13
Révisions d’algèbre linéaire : espaces vectoriels, applications linéaires, matrices, déterminants.
1