cours variations de fonctions

Seconde
Cours : variations de fonctions
I. Sens de variation et extremums
a)
Sens de variation
Fonction croissante
La fonction f est croissante sur l’intervalle I signifie que sur l’intervalle I, si les valeurs
de la variable x augmentent, alors les images f(x) augmentent aussi.
Pour tout x1 ≤ x2
Alors f(x1) ≤ f(x2)
Autrement dit, une fonction croissante conserve l’ordre
Fonction décroissante
La fonction f est décroissante sur l’intervalle I signifie que sur l’intervalle I, si les
valeurs de la variable x augmentent, alors les images f(x) diminuent.
Pour tout x1 ≤ x2
Alors f(x1) ≥ f(x2)
Autrement dit, une fonction décroissante change l’ordre.
Remarque:
On dira d’une fonction qui prend toujours la même valeur qu’elle est constante.
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Seconde
Cours : variations de fonctions
b) Extremum
Maximum
Sur un ensemble D, le maximum est l’image f(x) la plus grande atteinte.
Pour tout x de D f(x) ≤ Max
Graphiquement : le maximum est l’ordonnée du point le plus haut de la courbe C.
Minimum
Sur un ensemble D, le minimum est l’image f(x) la plus petite atteinte.
Pour tout x de D f(x) ≥ Min
Graphiquement : le minimum est l’ordonnée du point le plus bas de la courbe C.
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Cours : variations de fonctions
b)
Tableau de variation
Etudier les variations d’une fonction, c’est indiquer les plus grands intervalles sur
lesquels la fonction est croissante ou décroissante. On résume ces propriétés dans un
tableau de variation.
Exemple
La fonction f représentée ci-contre est décroissante sur [-3 ;-1], croissante sur [-1 ;2]
et décroissante sur [2 ;5].
II
Résolution graphique d'inéquations
Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère.
Inéquation f(x) > k (avec k réel)
Inéquation f(x) > g(x)
Les solutions sont les abscisses des points de Cf
situés au-dessus de la droite d’équation y = k.
Les solutions sont les abscisses des points de Cf
situés au-dessus de la courbe Cg.
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Cours : variations de fonctions
III Fonctions affines
a)
Sens de variation d’une fonction affine
Propriété :
Si a est positif, la fonction affine x ax + b est croissante sur Y.
Si a est négatif, la fonction affine x ax + b est décroissante sur Y.
Démonstration
Soit x1 et x2 deux réels quelconques tels que x1 < x2
Si a ≥ 0, lorsque qu’on multiplie chaque membre d’une inégalité par un nombre positif,
l’inégalité obtenue a le même sens.
Donc a x1 ≤ a x2.
En ajoutant b à chaque membre, on obtient a x1 + b ≤ a x2 + b
Donc la fonction affine est croissante sur Y.
Exemples :
La fonction x 3
3x+5
est une fonction affine croissante sur Y car a = est positif.
7
7
La fonction x 7 – 8x est une fonction affine décroissante sur Y car a = -8 est négatif.
b)
Caractérisation des fonctions affines
Propriété
f est une fonction affine, si et seulement si :
L’accroissement ∆ y de l’image est proportionnel à l’accroissement ∆ x de la variable.
Autrement dit, x1 et x2 étant deux réels distincts, et f(x1) et f(x2) leurs images :
∆ y f(x2)-f(x1)
=
=a
∆x
x2-x1
Démonstration :
• Si f est une fonction affine, alors f(x) = ax + b
∆ y = f(x2) – f(x1) = (ax2+b) – (ax1+b) = a(x2-x1) = a ∆ x
∆y
Ainsi, pour tous réels distincts x1 et x2, on obtient
=a
∆x
Réciproquement, soit f est une fonction telle que, pour 2 réels distincts x1 et x2, on a
f(x2)-f(x1)
= a.
x2-x1
En particulier, pour tout réel x et le réel 0, d’image f(0) = b, on obtient :
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Cours : variations de fonctions
f(x) – f(0) = a(x – 0)
Soit f(x) = ax + b
Ainsi la fonction f est affine.
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