Comment montrer qu`une suite est monotone ?
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Comment montrer qu`une suite est monotone ?
TS - Fiche méthode Monotonie d’une suite Comment montrer qu’une suite est monotone ? Definition 1 : Sens de variation Soit une suite (un ) avec n ∈ N. – (un ) est croissante si et seulement si pour tout n ∈ N, un+1 > un – (un ) est décroissante si et seulement si pour tout n ∈ N, un+1 6 un – (un ) est constante si et seulement si pour tout n ∈ N, un+1 = un Vocabulaire : On dit qu’une suite est monotone quand elle est soit croissante, soit décroissante. Propriété 1 : Étude du signe de un+1 − un Soit une suite (un ) avec n ∈ N. – Si pour tout n ∈ N, un+1 − un > 0 alors (un ) est croissante. – Si pour tout n ∈ N, un+1 − un 6 0 alors (un ) est décroissante. Exemple 1 : Étudier la monotonie de la suite (un ) telle que un+1 = un + 3un 2 pour n ∈ N. Propriété 2 : Cas des suites strictement positives Soit une suite (un ) telle que un > 0 pour tout n ∈ N. un+1 > 1 alors (un ) est croissante. – Si pour tout n ∈ N, un un+1 – Si pour tout n ∈ N, 6 1 alors (un ) est décroissante. un Exemple 2 : Étudier la monotonie de la suite (un ) définie par un+1 = un pour n ∈ N, et u0 = 1. 3 Propriété 3 : Suites du type un = f (n) Soient f une fonction définie sur [0 ; +∞[ et (un ) une suite définie par un = f (n) pour tout n ∈ N. – Si f est croissante sur [0 ; +∞[ alors (un ) est croissante. – Si f est décroissante sur [0 ; +∞[ alors (un ) est décroissante. Remarque 1 : DANGER ! ! Il ne faut pas confondre avec les suites du type un+1 = f (un ) pour lesquelles le lien entre le sens de variation de f et celui de (un ) est beaucoup moins évident. Exemple 3 : Étudier la monotonie des suites suivantes : 1 a) (un ) définie par un = pour n ∈ N∗ . n b) (vn ) définie par vn = 5n − 3 pour n ∈ N. Propriété 4 : Raisonnement par récurrence Exemple 4 : Étudier la monotonie de la suite (un ) définie par un+1 = un 2 pour n ∈ N, et u0 = 0, 5.