Correction Devoir Surveillé 7 : fonctions de référence

2nde
Correction Devoir Surveillé 7 : fonctions de référence
Correction Devoir Surveillé 7 :
Exercice 1.
fonctions de référence
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(Cours)
1. Donner la définition de la fonction carré : son expression et son ensemble de définition.
♠♠ Définition :
Le fonction « carré » est la fonction c définie sur R par c(x) = x2 .
♠
♠
♠
R Ð→ R
♠
♠ C’est à dire
c∶
♠
x z→ x2
♠
♠
Remarque : L’expression de la fonction carré est x2 . Son ensemble de définition est R.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction inverse.
On note i la fonction inverse.
x
0
−∞
+∞
Var. de i
Exercice 2.
Soit h une fonction linéaire telle que h(−3) = 9. Déterminer l’expression h(x).
h est une fonction linéaire donc h(x) = mx (p = 0) où m est une constante réelle à déterminer.
De plus h(0) = 0 car h est linéaire.
h(0) − h(−3) 0 − 9 −9
D’après le cours, m =
=
=
= −3.
0 − (−3)
0+3
3
Par conséquent, l’expression de h est h(x) = −3x.
Exercice 3.
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = −3x2 + 2.
1. Démontrer que f est strictement croissante sur ]−∞; 0].
Soient deux réels a et b tels que a < b ≤ 0.
Donc a2 > b2 car la fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞; 0].
D’où −3a2 < −3b2 : l’inégalité a changé de sens car on a multiplié par un nombre négatif (−3).
Ainsi −3a2 + 2 < −3b2 + 2 (on ajoute 2 de part et d’autre de l’inégalité).
C’est-à-dire f (a) < f (b).
Conclusion : f est strictement croissante sur ]−∞; 0].
2. Démontrer que f est strictement décroissante sur [0; +∞[.
Soient deux réels a et b tels que 0 ≤ a < b.
Donc a2 < b2 car la fonction carré est strictement croissante sur [0; +∞[.
D’où −3a2 > −3b2 : l’inégalité a changé de sens car on a multiplié par un nombre négatif (−3).
Ainsi −3a2 + 2 > −3b2 + 2 (on ajoute 2 de part et d’autre de l’inégalité).
C’est-à-dire f (a) > f (b).
Conclusion : f est strictement décroissante sur [0; +∞[.
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3. Dresser le tableau de variation de f .
D’après les deux questions précédentes, et sachant que f (0) = −3 × 02 + 2 = 2, on obtient :
x
0
−∞
+∞
2
Var. de f
4. Trouver le meilleur encadrement de f (x) quand x ∈ [1; 4], en justifiant à l’aide des propriétés adéquates.
Si x ∈ [1; 4] c’est-à-dire (0 ≤) 1 ≤ x ≤ 4
alors f (1) ≥ f (x) ≥ f (4) car la fonction f est strictement décroissante sur [0; +∞[,
or f (1) = −3 × 12 + 2 = −3 + 2 = −1 et f (4) = −3 × 42 + 2 = −48 + 2 = −46.
Donc −1 ≥ f (x) ≥ −46 ie −46 ≤ f (x) ≤ −1.
Exercice 4.
2x − 7
suivant les valeurs réelles de x dans un même tableau, afin d’en
3
2x − 7
déduire dans ce même tableau le signe de (5 − x) (
).
3
1. Établir le tableau de signes des expressions 5 − x et
On résout 5 − x = 0 ⇐⇒ 5 = x ;
7
2x − 7
= 0 ⇐⇒ 2x − 7 = 0 ⇐⇒ 2x = 7 ⇐⇒ x = .
puis
3
2
D’où, sachant que le coefficient directeur du premier facteur est −1 < 0 et celui du second facteur
2x − 7 2
7
2
(
= x − ) est > 0 :
3
3
3
3
x
7
2
−∞
5
5−x
+
2x−7
3
− 0 +
)
(5 − x) ( 2x−7
3
+∞
+ 0 −
+
− 0 + 0 −
2. Résoudre dans R l’inéquation (5x − 2) (x + 3) < 0.
On résout cette inéquation en faisant un tableau de signes comme dans la question précédente :
2
D’abord on résout : 5x − 2 = 0 ⇐⇒ 5x = 2 ⇐⇒ x = ;
5
puis x + 3 = 0 ⇐⇒ x = −3.
D’où, sachant que le coefficient directeur du premier facteur est 5 > 0 et celui du second facteur est
1>0 :
x
−∞
2
5
−3
+∞
5x − 2
−
− 0 +
x+3
−
0
+
(5x − 2) (x + 3)
+
0
− 0 +
+
2
Donc les solutions dans R l’inéquation (5x − 2) (x + 3) < 0 sont S = ]−3; [.
5
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Exercice 5.
On considère les fonctions suivantes :
● f définie sur R par f (x) = −3x + 2
● h définie sur R par h(x) = 5x
Dresser les tableaux de variations de chacune de ces fonctions, en justifiant.
f est une fonction affine de coefficient directeur (−3) strictement négatif donc :
x
−∞
+∞
Var. de f
h est une fonction affine (et linéaire) de coefficient directeur (5) strictement positif :
x
−∞
+∞
Var. de h
Exercice 6.
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = −
x
+ 1 dont la courbe représentative est notée Cg . La droite D
5
représentée ci-dessous est la courbe représentative de la fonction affine f .
D
C
Cg
A
Ð
→
j
O
K
Ð
→
i
B
D
1. Déterminer l’expression de f (x) en utilisant les points à coordonnées entières marqués du graphique ci-dessus.
On lit sur le graphique les points suivants sur la droite D : A (4; 1) et B (0; −1) (et F (6; 2)).
On cherche les réels m et p tel que f (x) = mx + p car f est une fonction affine.
B (0; −1) ∈ D se traduit par f (0) = −1 ie m × 0 + p = −1 ie p = −1.
Donc f (x) = mx − 1. Il reste alors m à déterminer.
2 1
De plus A (4; 1) ∈ D se traduit par f (4) = 1 ie m × 4 − 1 = 1 ie 4m = 2 ie m = = .
4 2
1
Conclusion : L’expression de f est f (x) = x − 1.
2
2. En faisant apparaître les calculs, tracer Cg dans le repère ci-dessus.
g est une fonction affine donc Cg est une droite, ainsi nous avons besoin de 2 points de cette droite
pour la tracer. Pour cela, on calcule 2 images par g :
g(−5) = 1 + 1 = 2 d’où C (−5; 2) ∈ Cg ; et g(10) = −2 + 1 = −1 d’où D (10; −1) ∈ Cg .
Donc Cg = (CD), représenté dans le repère précédent.
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3. Déterminer par le calcul les coordonnées du point K d’intersection de Cg et D.
Un point K (x; y) est point d’intersection de Cg et D si et seulement si
⎧
⎧
⎧
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
x
x
x
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
K
∈
C
y
=
g(x)
y
=
−
+
1
+
1
y
=
−
g
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ y = −5 + 1
5
5
⎨
⇐⇒ ⎨
⇐⇒ ⎨
⇐⇒ ⎨
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1
x
x x
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
K
∈
D
y
=
f
(x)
y
=
−
1+1= +
x
−
1
+
1
=
x
−
1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2
2
2 5
⎩
⎩
⎩
⎩ 5
⎩
⎧
⎧
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
x
7
10
20
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ y = −5 + 1
⎪ 2 = 10 x
⎪ 2× 7 =x
⎪ 7 =x
⇐⇒ ⎨
⇐⇒ ⎨
⇐⇒ ⎨
⇐⇒ ⎨
20
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5x
x
x
2x
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2=
y =− +1
y =− +1
y =− 7 +1
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
10
10
5
5
5
⎩
⎩
⎩
⎩
⎧
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
20
20
20
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=
x
=
x
⎪
⎪
⎪
⎪ 7
⎪ 7
⎪ 7 =x
⇐⇒ ⎨
⇐⇒ ⎨
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
20
15
3
35
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
y
=
−
y
=
y=
+
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
35 35
35
7
⎩
⎩
⎩
20 3
Donc les coordonnées du point K d’intersection de Cg et D sont ( ; ) (en remarquant que
7 7
20
3
≃
2,
86
et
≃
0,
43).
7
7
Autre rédaction : Un point K d’abscisse x est point d’intersection de Cg et D = Cf nous amène
à résoudre l’équation g(x) = f (x).
1
x x
5x 2x
7
10
x
+
⇐⇒ 2 = x ⇐⇒ 2 ×
=
g(x) = f (x) ⇐⇒ − + 1 = x − 1 ⇐⇒ 1 + 1 = + ⇐⇒ 2 =
5
2
2 5
10 10
10
7
20
x ⇐⇒
=x
7
20
20
20
20 35 15 3
L’ordonnée de K est alors y = f ( ) = g ( ) = − 7 + 1 = − +
=
=
7
7
5
35 35 35 7
Exercice 7. Bonus Être ou non à la page
Le livre des maîtres du mystère est ouvert sur une table et on peut y lire les 2 numéros de pages, composés chacun de 3 chiffres
différents. Le produit des 6 chiffres est égal à 2400. À quelles pages est ouvert ce livre ? Donner une des possibilités.
2400 = 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 5 = 25 × 3 × 52
Ainsi les chiffres des 2 pages peuvent être seulement parmi : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8.
En essayant les différentes combinaisons, les possibilités de pages sont 542/543 et 452/453.
Barème
Exercice. 1. 1, 25 = 0, 5 + 0, 75
Exercice. 2. 1, 5
Exercice. 3. 6, 5 = 2 + 2 + 1 + 1, 5
Exercice. 4. 3, 75 = 1, 75 + 2
Exercice. 5. 1, 5
Exercice. 6. 5, 5 = 2 + 1, 5 + 2
Exercice. 7. Bonus 1
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