T4. Correction du Dm4 Exercice 1 (Sujet C page 70) 1. On consid

T4. Correction du Dm4
2. Soit n un entier naturel non nul. On considère
√ la fonction fn
x
.
définie sur [0; +∞[ par fn (x) = 2x − 2 +
n
(a) Déterminer la limite en +∞ de fn .
lim 2x − 2 = +∞.
x→+∞
√
x
Comme n > 0, lim
= +∞.
x→+∞ n
Par somme, lim fn (x) = +∞.
Exercice 1 (Sujet C page 70)
1. On considère la fonction f1 définie sur [0; +∞[ par
√
f1 (x) = 2x − 2 + x.
(a) Déterminer la limite de f1 en +∞.
lim 2x − 2 = +∞.
x→+∞ √
x = +∞.
lim
x→+∞
x→+∞
(b) Démontrer que la fonction fn est strictement croissante
sur [0; +∞[.
En reprenant les arguments du 1.b, la fonction fn est
dérivable sur ]0; +∞[.
1
Pour tout x > 0, fn′ (x) = 2 + √ > 0.
2n x
Donc fn est strictement croissante sur ]0; √
+∞[.
Par somme de fonctions continues, (x 7→ x est continue sur [0; +∞[) la fonction fn est continue sur l’intervalle fermé [0; +∞[.
On en déduit que fn est strictement croissante sur l’intervalle fermé [0; +∞[.
Par somme, lim f1 (x) = +∞.
x→+∞
(b) Déterminer la dérivée de f1 sur ]0; +∞[.
La fonction x 7→ 2x − 2 est dérivable
√ sur R (polynôme),
et la fonction racine carrée x 7→ x est dérivable sur
]0; +∞[.
Par somme de fonctions dérivables, f1 est dérivable sur
]0; +∞[.
1
Pour tout x > 0, f1′ (x) = 2 + √ .
2 x
(c) Dresser le tableau√de variation de f1 .
Pour tout x > 0, x > 0, et donc f1′ (x) > 0.
On en déduit que f1 est strictement croissante sur
]0; +∞[.
f1 (0) = 0 − 2 + 0 = −2.
Comme la fonction racine carrée est continue sur
[0; +∞[, et que la fonction x 7→ 2x − 2 l’est aussi.
Par somme de fonctions continues, la fonction f1 est
continue sur [0; +∞[, et donc en 0.
x
0
(c) Montrer que l’équation fn (x) = 0 admet une unique solution αn sur [0; +∞[.
fn (0) = −2 < 0.
x
0
+∞
+∞
fn (x)
−2
+∞
+∞
On a montré que :
– fn est continue sur [0; +∞[.
– fn est strictement croissante sur [0; +∞[.
– fn (0) = −2 < 0, et lim fn (x) = +∞.
f1 (x)
−2
x→+∞
1
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation fn (x) = 0 admet une unique
solution αn dans [0; +∞[.
Comme la fonction fn est strictement croissante sur
[0; +∞[, on en déduit que αn < αn+1 .
En effet, si on avait αn > αn+1 , comme fn est croissante,
il s’ensuivrait que fn (αn ) > fn (αn+1 ), ce qui n’est pas.
Comme pour tout n > 0, αn < αn+1 ,
la suite (αn ) est strictement croissante.
(d) Justifier que pour tout n > 0, 0 < αn < 1.
fn (0) = −2 < 0.
√
1
1
fn (1) = 2 × 1 − 2 +
= > 0.
n
n
Donc 0 < αn < 1.
(b) En déduire qu’elle est convergente.
On a vu que la suite (αn ) est croissante et majorée
(0 < αn < 1).
Donc la suite (αn ) converge vers une limite ℓ (et on sait
que ℓ 6 1).
√
αn
(c) Utiliser l’expression αn = 1 −
pour déterminer la
2n
limite de cette suite.
Tout d’abord, cette égalité vient du fait que αn vérifie
la relation
√
αn
2αn − 2 +
=0
n
√
αn
D’où αn = 1 −
.
2n
Comme la √
suite (αn ) converge vers ℓ, par composée,
√
lim αn = l (qui est une limite réelle).
Or, lim 2n = +∞. √
αn
= 0.
Par quotient, lim
n→+∞ √
2n
αn
Par somme, lim 1 −
= 1 − 0 = 1.
√ 2n
αn
, lim αn = 1.
Comme αn = 1 −
2n
La suite (αn ) converge vers 1.
3. Démontrer que pour tout√n > 0, fn (αn+1 ) > 0.
αn+1
fn (αn+1 ) = 2αn+1 − 2 +
.
n
Or, par définition
√ de αn+1 , fn+1 (αn+1 ) = 0.
αn+1
= 0.
2αn+1 − 2 +
n+1 √
Comme n + 1 > n, et αn+1 > 0, il est clair que
√
√
αn+1
αn+1
>
.
n
n+1
Donc
√
√
αn+1
αn+1
> 2αn+1 − 2 +
2αn+1 − 2 +
n+1
√n
αn+1
2αn+1 − 2 +
> 0
n
fn (αn+1 ) > 0
Pour tout n > 0, fn (αn+1 ) > 0.
4. Étude de la suite (αn ).
(a) Montrer que la suite (αn ) est croissante.
On a vu que pour tout n > 0, fn (αn+1 ) > 0.
Or, fn (αn ) = 0.
2