Vrai ou Faux ? Étude des variations d`une suite Limite de

Vrai ou Faux ?
()
1 Faux. Exemple un = 1
2 Faux. Exemple un = 2 n .
1
2
n
.
Étude des variations d’une suite
1 a. u n = 0,1 × 1, 2 n : 0,1 ! 0 et 1,2 ! 1 donc la suite
( un ) est croissante.
b. u n = n 2 + 2 n 1 . f (x) = x 2 + 2 x 1 , la fonction f
est une fonction trinôme du second degré, elle est
croissante sur l’intervalle [ 1 ; + [ donc, la suite ( un )
est croissante.
1
2 a. u n =
: Pour tout entier n ,
2n + 3
1
1
2
un + 1 un =
.
= 2n + 5 2n + 3
(2 n + 3)(2 n + 5)
Pour tout entier n , un + 1 – un " 0 donc, la suite ( un ) est
décroissante.
3n
b. u n =
. Pour tout entier n ,
n +1
3n + 3
3n
3
un + 1 un =
.
= n + 2 n + 1 ( n + 1)( n + 2)
Pour tout entier n , un + 1 – un > 0 donc, la suite ( un ) est
croissante.
Vic
a. Vic investit son capital dans une entreprise ce qui lui
permet d’augmenter son capital de 20 % par an, mais
il paye 30 % de taxes sur les intérêts acquis et utilise
14 % de son capital par an.
On a donc pour tout entier n,
Vn + 1 = 1,2 Vn 0,3 × 0,2 Vn – 0,14 Vn = Vn .
b. La suite ( Vn ) est constante égale à V0 = 240 000 = V5 .
c. lim Vn = 240 000 .
n
+
Walid
a. Walid réalise un investissement industriel : son capital augmente ainsi de 15 % par an, mais il doit payer
6 % du capital en assurance et céder 40 % des intérêts
acquis en taxes.
Pour tout entier n ,
Wn + 1 = 1,15 Wn 0,1 Wn 0,4 × 0,15 Wn = 0,99 Wn ,
la suite est géométrique de raison 0,99 et de terme initial 240 000.
Pour tout entier n , Wn = 240 000 × 0,99n .
0 " 0,99 " 1 et 240 000 ! 0 donc la suite est décroissante.
b. W5 = 240 000 × 0,995 soit W5 228 237,6 € .
c. lim Wn = 0 .
n
+
2
Limite de q n
1 a.
; b. 0 ; c. + .
2 A est très grand ; B est proche de 1 ; C est proche de 0 ;
D est proche de 1 ; E est très grand ; F est proche de 1.
Limite d’une suite géométrique
a. 0,8
] 0 ; 1 [ . Donc lim 0, 8 n = 0 .
n
+
En multipliant par 1 500, on obtient que
lim 1 500 × 0, 8 n = 0 .
+
n
b. 2,3 ! 1 . Donc lim
+
n
2, 3 n
=+
.
En multipliant par 5 000, on obtient que
lim 5 000 × 2, 3 n = + .
n
+
c. 1,12 ! 1 . Donc lim 1,12 n = + .
n
lim 3 × 1,12 n = + .
n
+
+
Croissance ou décroissance ?
Ugo
a. Le capital de base est de 240 000 € .
Ugo place son capital à intérêts composés au taux
annuel de 5 %, mais il doit payer une taxe de 2 % du
capital et en retire chaque année 2 % .
On a donc pour tout entier n, Un + 1 = 1,05 Un 2 × 0,02 Un
= 1,01 Un .
La suite ( Un ) est géométrique de raison 1,01 et de terme
initial U0 = 240 000.
Pour tout entier n , Un = 240 000 × 1,01n
1,01 ! 1 et 240 000 ! 0 la suite est croissante.
b. U5 = 240 000 × 1,015 soit U5 252 242,41 € .
c. lim U n = + .
n
+
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Loyer en augmentation
1 a. u n + 1 = u n + 0,02 u n = 1,02 u n .
Donc le loyer suit une suite géométrique de raison 1,02.
Pour tout entier n , u n = 450 × 1,02 n .
b. q = 1,02 ! 1 . Donc ( u n ) est croissante.
Comme lim 1, 02 n = + , en multipliant par 450 :
n
+
lim 450 × 1, 02 n = +∞ .
n→+∞
2 Donc le loyer mensuel
dépassera 500 € au bout
de six années
d’augmentation.
3 Le montant total des loyers versés en cinq ans est :
S = 12 × 450 + 12 × 450 × 1,02 + … + 12 × 450 × 1,02 4
= 12 × 450 × ( 1 + 1,02 + 1,022 + 1,02 3 + 1,02 4 )
1 1, 02 5
= 5 400 ×
28 100
1 1, 02
soit 28 100 € au total sur
5 ans.
On peut vérifier à l’aide
des listes sur la calculatrice.
CHAPITRE 1
Suites
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23/08/12 12:32