Devoir commun Durée : 2h Epreuve de mathématiques

Lycée Roumanille
Nyons
Année scolaire
2008-2009
Devoir commun
1ère S
Durée : 2h
NOM : …………………………
Prénom : ……………………….
Epreuve de mathématiques
L’épreuve comporte un questionnaire à choix multiple à traiter directement sur le sujet.
Il convient donc de rendre ce sujet avec la copie !
Les calculatrices sont autorisées.
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Première partie : QCM
A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une
réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la
moitié du nombre de points affectés. Le candidat peut décider de ne pas répondre à
certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Pour chaque question, une seule des 3 propositions est exacte. Le candidat doit cocher la
case correspondante. Aucune justification n’est demandée.
1°) Voici la représentation graphique d’une fonction f.
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
Parmi, les trois représentations graphiques suivantes, une seule est celle de sa fonction
dérivée f ’.
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
2°) Une seule proposition complète correctement cette assertion :
Si u et v sont deux fonctions croissantes, alors…
u × v est croissante
u ° v est croissante
1
2
3
4
5
u – v est croissante
3°) Soient A, B et C sont trois points distincts du plan.

 
L’ensemble des points M du plan tels que || MA – 3 MB + MC || = 1 est…
une droite
l’ensemble vide
un cercle

π
4°) Quel que soit le réel x, on a : cosx +  = …
3

π
π
π
π
π
sin(x) cos  + cos(x) sin  cos(x) cos  – sin(x) sin  cos(x) + cos 
3
 3
 3
3
 3
4
5°) Soit θ l’unique réel de l’intervalle [ – π ; 0 ] tel que cos θ = . Que peut-on en conclure ?
5
41
3
3
sin θ =
sin θ =
sin θ = –
5
5
5
Deuxième partie : Analyse
Exercice 1
1°) Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 8] par g(x) = 2x3 – 6x2 – 100.
a. Calculer g’(x), étudier son signe et en déduire le tableau des variations de g
sur l’intervalle [0 ; 8].
b. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle
[2 ; 8].
c. Calculer g(5) et en déduire la solution α.
d. Déterminer le signe de g(x) sur l’intervalle [0 ; 8] et résumer ces résultats dans
un tableau.
2°) Soit f, la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 8] par f(x) = x2 – 6x + 10 +
a. Calculer f’(x), puis monter que f’(x) =
g (x )
.
x2
100
.
x
b. En utilisant la question 1°, déterminer le signe de f’(x).
c. En déduire le tableau des variations de f sur ]0 ; 8].
On notera Cf la courbe représentative de la fonction f.
3°) Déterminer l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 1.
Exercice 2
1°) Etudier les variations de la fonction f définie sur [– π ; π] par f(x) = cos x + x.
2°) En déduire que l’équation cos x + x = 0 a une unique solution α dans l’intervalle
[– π ; π].
On ne demande pas de résoudre cette équation !
3°) Démontrer que l’on a : – 1 < α < 1.
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Troisième partie : Géométrie
Exercice 1
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; i ; j ).
Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure.
1°) On donne les points A(4 ; 0) et D(4 ; 4).

a. Déterminer les coordonnées polaires du point D dans le repère (O ; i ).




b. Exprimer les vecteurs AO et AD en fonction des vecteurs i et j .
 
c. En déduire une mesure de l’angle orienté (AO,AD).


π
2°) Le point E a pour coordonnées polaires 4 ; –  dans le repère (O ; i ).
3

 
a. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point E dans le repère (O ; i ; j ).
b. Préciser la nature du triangle OEA.

c. En déduire une mesure de l’angle orienté (AE,AO).
 
π
3°) Le point C est tel que (AD,AC) = – et AC = 4.
6
a. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que les points E, A et C sont
alignés.
b. En déduire que le point A est le milieu du segment [EC].
 
c. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point C dans le repère (O ; i ; j ).
Exercice 2
ABC est un triangle. On considère les points I, J et K définis par :
 1
AI = AB ; J est le milieu du segment [AC] ; K est le barycentre de (B ; – 1) et (C ; 3).
4
1°) Construire une figure en justifiant la position du point K.
On se propose de vérifier que I, J et K sont alignés.
2°) Vérifier que l’on a :
a. J est l’isobarycentre de A et C ;
b. A est le barycentre de (B ; 1) et (I ; – 4) ;
c. C est le barycentre de (K ; – 2) et (B ; – 1).
3°) Démontrer que J est le barycentre de (I ; 4) et (K ; 2). Conclure.