BTS Blanc ´Epreuve de Mathématiques du Groupement A Exercice

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Mathématiques 3h
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Épreuve de Mathématiques du Groupement A
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une
part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est
autorisé.
Exercice 1
(8 points)
−
−
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O ; →
u ,→
v ).
π
On note j le nombre complexe de module 1 et dont un argument est .
2
Soit T la fonction définie pour t réel strictement positif par :
T (t) =
2
+
3
1
z1 (t)
1+
z2 (t)
avec z1 (t) = 2 +
1
2
+
3
3 + j h(t)
1
jt
et z2 (t) =
1
1
+jt
2
1
2t
1)
Montrer que
2)
Étudier les variations de h sur ]0 ; +∞[ et préciser les limites de h en 0+ et en +∞.
T (t) =
où
h(t) = 2t −
3)
Quel est l’ensemble (E1 ) des points du plan d’affixes z = 3 + j h(t) lorsque t parcourt
l’intervalle ]0 ; +∞[ ?
4)
Quel est l’ensemble (E2 ) des points du plan d’affixes z =
1
lorsque t parcourt
3 + j h(t)
l’intervalle ]0 ; +∞[ ?
5)
Déduire des questions précédentes l’ensemble (E3 ) des points du plan d’affixes T (t)
lorsque t parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[
6)
Tracer sur la même figure les ensembles (E1 ), (E2 ) et (E3 ).
(On prendra une unité graphique de 6 cm sur les deux axes)
π
π
et .
2
2
Déterminer à l’aide de la représentation graphique de (E3 ) la valeur maximale atteinte par
l’argument ϕ(t) lorsque t parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[
7)
On note ϕ(t) un argument de T (t) dont la mesure est comprise entre −
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Exercice 2
1)
(12 points)
Soit la fonction numérique f définie sur R par


f




f
de période 2π
paire
π
t 7→ f (t) =


2



t 7→ f (t) = π − t
a)
Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−2π ; 4π].
b)
Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichelet.
π
si 0 6 t <
2
π
6t<π
si
2
Déterminer t 7→ S(t) le développement de Fourier associé à f .
2 π
n
On montrera que :
an =
cos
n
−
(−1)
pour n > 1
π n2
2
c)
d)
2)
Calculer fe2 le carré de la valeur efficace de f .
On considère la fonction numérique g définie sur R par :
g:
t 7−→ g(t) =
3π 2
1
+ cos(t) − cos(2t)
8
π
π
a)
Calculer avec la formule de Parseval ge2 le carré de la valeur efficace de g.
b)
Calculer à 10−3 près, une valeur approchée du rapport
3)
ge2
.
fe2
On considère un système physique régi, sur l’intervalle [0 ; +∞[ , par l’équation :
Z t
s(t) + 2 s(u) du = f (t)
(1)
0
Dans cette équation, on remplace f par g et on suppose que la fonction s est dérivable sur
l’intervalle [0 ; +∞[
a)
Montrer que sur l’intervalle [0 ; +∞[, l’équation (1) peut s’écrire :
ds(t)
2
2
+ 2 s(t) = − sin(t) + sin(2t)
dt
π
π
(2)
b)
Déterminer une solution particulière de l’équation :
ds(t)
2
+ 2 s(t) = − sin(t)
dt
π
c)
Déterminer une solution particulière de l’équation :
ds(t)
2
+ 2 s(t) = sin(2t)
dt
π
d)
Résoudre l’équation (2) et déterminer la solution particulière vérifiant :
2/2
s(0) = 0
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(Solution)
Épreuve de Mathématiques du Groupement A
Exercice 1
(8 points)
−
−
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O ; →
u ,→
v ).
π
On note j le nombre complexe de module 1 et dont un argument est .
2
Soit T la fonction définie pour t réel strictement positif par :
T (t) =
1)
2
+
3
Montrer que
1
z1 (t)
1+
z2 (t)
avec z1 (t) = 2 +
T (t) =
2
1
+
3
3 + j h(t)
où
1
jt
et z2 (t) =
h(t) = 2t −
1
1
+jt
2
1
2t
z1 (t)
2jt + 1 1 + 2jt
(1 + 2jt)2
1 + 4jt − 4t2
=
×
=
=
z2 (t)
jt
2
2jt
2jt
1
2t
j
1
=
+2−
= 2 + 2jt +
= 2 + j 2t +
= 2 + j h(t)
2jt
j
2t
2t
T (t) =
2)
1
2
+
3 3 + j h(t)
Étudier les variations de h sur ]0 ; +∞[ et préciser les limites de h en 0+ et en +∞.
h(t) = 2t −
1
2t
donc
h0 (t) = 2 +
t
0
h (t)
+
h(t)
%
1
>0
2t2
+∞
0
+∞
−∞
3) Quel est l’ensemble (E1 ) des points du plan d’affixes z = 3 + j h(t) lorsque t parcourt
l’intervalle ]0 ; +∞[ ?
j
jR
E1
R
−1 0
−j
1
2
3
E1 est la droite verticale d’équation x = 3
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4)
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Quel est l’ensemble (E2 ) des points du plan d’affixes z =
1
lorsque t parcourt
3 + j h(t)
l’intervalle ]0 ; +∞[ ?
j
jR
E1
R
−1 0
−j
E2 1
E2 est le cercle de rayon
1
6
2
3
et de centre d’affixe ( 61 )
5)
Déduire des questions précédentes l’ensemble (E3 ) des points du plan d’affixes T (t)
lorsque t parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[
E3 est le cercle de rayon
6)
1
6
et de centre d’affixe ( 65 )
Tracer sur la même figure les ensembles (E1 ), (E2 ) et (E3 )
(On prendra une unité graphique de 6 cm sur les deux axes)
jR
E1
j
R
0
E2
E3
1
2
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π
π
et .
2
2
Déterminer à l’aide de la représentation graphique de (E3 ) la valeur maximale atteinte par
l’argument ϕ(t) lorsque t parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[
7)
On note ϕ(t) un argument de T (t) dont la mesure est comprise entre −
jR
j
6
A
Ω
0
E2
E3
R
1
Soit ϕmax la valeur maximale de l’argument ϕ(t) lorsque t parcourt l’intervalle ]0 ; +∞[
On trace à partir de O la tangente OA au cercle E3 .
[
Le triangle OAΩ est rectangle en A et ϕmax = ΩOA
1
5
1
AΩ =
et OΩ =
donc : sin(ϕmax ) =
et :
6
6
5
1
ϕmax = arcsin
' 0, 201 rd ' 11˚320 13”
5
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Exercice 2
1)
(12 points)
Soit la fonction numérique f définie sur R par
a)


f




f
de période 2π
paire
π
t 7→ f (t) =


2



t 7→ f (t) = π − t
π
si 0 6 t <
2
π
6t<π
si
2
Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−2π ; 4π].
π
2
f (t)
t
−π
−2π
b)
O
π
2π
3π
4π
Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichelet.
Sur l’intervalle 0 ; 2π la fonction f est continue partout et dérivable sauf
pour t = π2 , pour t = π et pour t = 3π
, mais les limites suivantes sont finies :
2
π −
=0
2
π +
= −1
f0
2
f0
f 0 (π − ) = −1
f 0 (π + ) = 1
3π −
=1
2
3π +
f0
=0
2
f0
Donc f satisfait aux conditions de Dirichlet et admet un développement en
série de Fourier, et S(t) = f (t) pour tout t.
Déterminer t 7→ S(t) le développement de Fourier associé à f .
2 π
n
On montrera que :
an =
cos n − (−1)
pour n > 1
π n2
2
c)
La période est T = 2π donc : ω = 1 f est paire donc :
bn = 0
!
Z
Z π
Z π
Z π
2 π
1 π
1
1
a0 =
f (t) dt =
2
f (t) dt =
dt +
(π − t) dt
π
2π −π
2π 0
π
2
0
2
t2 iπ
1 π 2 h
π 1 2 π2 π2 π2 =
+ πt −
= +
π −
−
−
π
2
2 π2
4 π
2
2
8
a0 =
3π
8
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On fera une intégration par partie :
=
=
=
Z
π
an =
d)
du = −dt
sin(nt)
v=
n
Z π
1
f (t) cos(nt) dt = 2
f (t) cos(nt) dt
π 0
−π
!
Z π
Z π
2 π
2
cos(nt) dt +
(π − t) cos(nt) dt
π
π
2
0
2
!
Z
2 π h sin(nt) i π2 h
sin(nt) iπ
1 π
+ (π − t)
+
sin(nt) dt
π
π 2
n
n
n π2
0
2
2 π sin(n π2 ) π π sin(n π2 ) 1 h cos(nt) iπ
−
0 + 0 −
+
−
π
π 2
n
2
2
n
n
n
2
2
(−1)n cos(n π2 ) −
− −
nπ
n
n
2
an =
2π
=
u=π−t
dv = cos(nt)dt
π
2 n
cos
n
−
(−1)
π n2
2
Calculer fe2 le carré de la valeur efficace de f .
!
Z π
Z π 2
Z π
Z π
2 π
1
1
1
fe2 =
f 2 (t) dt =
2
f 2 (t) dt =
dt +
(π − t)2 dt
π
2π −π
2π 0
π
4
0
2
h
i
3
2
π
1
π 3
t
1
π3 π3 π3 π3 π
2
2
3
3
=
+ π t − πt +
+
π −π +
−
−
+
=
π
2
3 π2
8
π
3
2
4
24
fe2 =
2)
π2
6
On considère la fonction numérique g définie sur R par :
g:
a)
3π 2
1
+ cos(t) − cos(2t)
8
π
π
Calculer avec la formule de Parseval ge2 le carré de la valeur efficace de g.
ge2
b)
t 7−→ g(t) =
=
3π 2
8
1
+
2
2 2
π
+
1 2 π
ge2 =
Calculer à 10−3 près, une valeur approchée du rapport
9π 2
5
+ 2
64
2π
ge2
fe2
ge2
' 0, 998
fe2
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3)
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On considère un système physique régi, sur l’intervalle [0 ; +∞[ , par l’équation :
Z t
s(t) + 2 s(u) du = f (t)
(1)
0
Dans cette équation, on remplace f par g et on suppose que la fonction s est dérivable sur
l’intervalle [0 ; +∞[
Z t
3π 2
1
s(t) + 2 s(u) du =
+ cos(t) − cos(2t)
8
π
π
0
a)
Montrer que sur l’intervalle [0 ; +∞[, l’équation (1) peut s’écrire :
ds(t)
2
2
+ 2 s(t) = − sin(t) + sin(2t)
dt
π
π
(2)
Il suffit de dériver l’équation (1)
b)
Déterminer une solution particulière de l’équation :
s(t) = a cos(t) + b sin(t)
2a + b = 0
s0 (t) = −a sin(t) + b cos(t)
2b − a = −
s(t) =
c)
d)
a=
2
π
2
5π
b=−
4
5π
2
4
cos(t) −
sin(t)
5π
5π
ds(t)
2
+ 2 s(t) = sin(2t)
dt
π
Déterminer une solution particulière de l’équation :
s(t) = a cos(2t) + b sin(2t)
2a + 2b = 0
s0 (t) = −2a sin(t) + 2b cos(t)
2b − 2a =
s(t) = −
2
ds(t)
+ 2 s(t) = − sin(t)
dt
π
1
2π
1
b=
2π
a=−
2
π
1
1
cos(2t) +
sin(2t)
2π
2π
Résoudre l’équation (2) et déterminer la solution particulière vérifiant :
s(t) = ke−2t +
s(0) = k +
s(t) =
1
2
−
2π 5π
s(0) = 0
2
4
1
1
cos(t) −
sin(t) −
cos(2t) +
sin(2t)
5π
5π
2π
2π
2
1
−
=0
5π 2π
e−2t +
donc :
k=
1
2
−
2π 5π
2
4
1
1
cos(t) −
sin(t) −
cos(2t) +
sin(2t)
5π
5π
2π
2π
8/8
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