MATHEMATIQUES 1 - Concours Communs Polytechniques

SESSION 2011
PSIM102
C O N C O U R S C O M M U N S P O LY T E C H N I Q U E S
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI
____________________
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance
à la clarté, à la précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.
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Les calculatrices sont autorisées
Le sujet comporte 6 pages.
Notations
On note : z le module du nombre complexe z ,
J un intervalle de <0,d< ,
f une fonction définie sur J à valeurs dans \ ou ^ ,
g une fonction définie sur <0,d< à valeurs dans \ ou ^ .
Sous réserve de son existence on note : fg ( x) ¨
f (t ) g ( xt )dt pour x ‰ >0, d< .
J
Chaque fois qu’aucune confusion ne sera possible, on notera f ( x) au lieu de fg ( x) .
Objectifs
Pour différentes hypothèses sur la fonction f, sur l’intervalle J et pour deux choix de la fonction g,
on se propose de déterminer la limite de fg ( x ) lorsque le nombre réel x tend vers d .
Dans la partie I, on étudie un exemple explicite avec application à des calculs de sommes de séries.
Dans la partie II, on considère une fonction f définie sur <0, d< à valeurs réelles et l’objectif est
d’obtenir la limite en d de f ( x) lorsque g (t ) sin(t ) , lorsque f est de classe C1 ou lorsque f
est continue par morceaux.
g
1/6
PARTIE I
Une étude de séries
I.1. Étude de la fonction L
Pour tout x réel tel que la série entière
œ
(1) k 1
k p1
xk
converge, on note L( x) =
k
d
œ 1
k 1
k 1
xk
sa
k
somme.
I.1.1. Préciser le rayon de convergence de cette série entière, montrer que la fonction L est
définie sur l’intervalle >1,1> et expliciter L( x) pour x appartenant à >1,1< .
I.1.2. Montrer, avec soin, que la fonction L est continue sur l’intervalle <0,1> . En déduire que
L(1) = ln(2) (où ln désigne la fonction logarithme népérien).
I.2. Étude de la série
 2k Q ¬­
­
3 ­®
1
œ k cos žžžŸ
k p1
On considère la suite (ak )k‰`* définie par :
Pour tout p ‰ `* : a3 p 2
1
1
et pour tout p ‰ ` : a3 p1 et a3 p2 .
3p
3 p 1
3p 2
3p
I.2.1. Montrer que :
œ
k 1
3p
1 1
ak p
k p1 k
œ
2p
œ
h1
1
h
1
p
.
3p
I.2.2. Déterminer la limite de la somme
œa
k
lorsque p tend vers d (on pourra
k 1
1
sur un intervalle convenable). En déduire la
1 t
ak et préciser sa somme.
considérer la fonction qui à t associe
convergence de la série
œ
k p1
I.2.3. En déduire que la série
1
 2k Q ¬­
­ converge et montrer que sa somme est égale à
3 ­®
œ k cos žžžŸ
k p1
 1 ¬
ln žž ­­­ .
žŸ 3 ®
2/6
I.3. Étude des séries
cos(k B)
et
k
œ
k p1
œ
k p1
sin(k B)
k
Pour t ‰ >0, 2Q< et n ‰ `* , on note : K(t ) 1
et S n (t ) it
e 1
n
œe
ikt
.
k 1
On désigne par B un nombre réel fixé dans l’intervalle >0, 2Q< . Pour simplifier l’écriture des
démonstrations, on supposera que Q b B 2Q .
I.3.1. Montrer que S n t K t ¢¡ ei ( n1)t eit ¯±° .
I.3.2. Montrer que la fonction K est de classe C1 sur le segment <Q, B > .
I.3.3. Montrer que l’intégrale
¨
B
Q
ei ( n1)tK (t )dt tend vers zéro lorsque l’entier n tend
vers d (on pourra utiliser une intégration par parties).
I.3.4. Expliciter
¨
B
Q
S n (t )dt . Déduire de ce qui précède la convergence de la série
k p1
d
Expliciter la somme
œ
œ
k 1
ik B
e
en fonction de ln(2) et de
k
I.3.5. Exprimer eit K(t ) en fonction de
¨
B
Q
eikB
.
k
eitK (t )dt .
it
2
e
où t appartient à <Q, B > .
 t ¬­
ž
sin žž ­­
Ÿ 2®
I.3.6. En déduire la convergence des séries
œ
k p1
cos(k B)
et
k
œ
k p1
sin(k B)
. Expliciter leur
k
somme respective. Le résultat est-il conforme avec celui obtenu en I.2.3. ?
PARTIE II
Limite d’une intégrale
Dans cette partie, on désigne par f une fonction continue par morceaux sur l’intervalle <0,d< à
valeurs réelles et telle que l’intégrale généralisée
¨
+d
f(t) dt soit convergente. On désigne par g
0
une fonction définie et continue sur l’intervalle <0,d< à valeurs complexes et (sous réserve
d’existence) on note fg ( x) ¨
d
f (t ) g ( xt )dt pour x ‰ >0, d< .
0
3/6
II.1. Existence de fg ( x)
On suppose que la fonction g est bornée sur l’intervalle <0,d< .
Justifier l’existence de fg ( x) pour tout x réel strictement positif. Montrer que la fonction fg est
continue et bornée sur l’intervalle >0,d< .
II.2. Limite de fg ( x) lorsque g (t ) eit
On suppose que la fonction f est de classe C1 sur l’intervalle <0,d< et à valeur réelle.
Soit fg ( x) ¨
d
f (t ) eixt dt .
0
II.2.1. Justifier l’affirmation :
Pour tout F 0, il existe un réel positif A tel que
II.2.2. Le nombre réel A étant fixé, montrer que l’intégrale
¨
d
f (t ) dt b F .
A
¨
A
f (t ) eixt dt tend vers zéro
0
lorsque le nombre réel x tend vers d (on pourra utiliser une intégration par parties).
II.2.3. En déduire la limite de fg ( x) ¨
d
f (t ) eixt dt lorsque le nombre réel x tend
0
vers d .
Dans toute la suite du problème, on suppose que g (t ) sin(t ) et on note simplement :
f ( x) ¨
d
f (t ) sin( xt ) dt .
0
II.3. Étude pour une fonction f particulière
On suppose (dans cet exemple) que f désigne la fonction E définie par E (t ) et pour t ‰ <0, d<
et donc E ( x) ¨
d
et sin( xt ) dt pour x ‰ >0, d< .
0
II.3.1. Pour H ‰ \ , calculer l’intégrale R (H ) ¨
Q
0
eH y sin y dy .
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II.3.2. Montrer que pour x ‰ >0, d< :
1
E ( x) x
¨
d u
x
e
sin u du .
0
¨
II.3.3. Exprimer pour tout k ‰ ` et pour tout x ‰ \ , l’intégrale
fonction de e
kQ
x
( k 1) Q
e
kQ
u
x
sin u du en
et de R (H ) pour un H convenable.
II.3.4. Justifier, pour x ‰ >0, d< , la convergence de la série
œ
e
kQ
x
;
k p0
d
préciser sa somme
œ
e
kQ
x
.
k 0
II.3.5. Expliciter E ( x) pour x ‰ >0, d< . Déterminer la limite de E ( x) lorsque x tend
vers d .
II.4. Étude générale
On désigne de nouveau par f une fonction quelconque continue par morceaux sur l’intervalle
<0, d< telle que l’intégrale généralisée
f ( x) =
¨
d
¨
d
f (t ) dt converge et on note :
0
f (t ) sin( xt ) dt pour x ‰ >0, d< .
0
II.4.1. Lemme préliminaire
Pour tout t réel tel que la série
œ
k p1
cos(2kt )
converge, on pose h(t ) 4 k 2 1
d
œ
k 1
cos(2kt )
. Montrer
4 k 2 1
que la fonction h est définie et continue sur \ . Justifier l’égalité :
t ‰ \, sin(t ) 2 4
h(t ) .
Q Q
II.4.2. Limite de f ( x) dans le cas C1
On suppose de plus que f est une fonction de classe C1 sur l’intervalle <0, d< . En utilisant
les résultats obtenus en II.2 et II.4.1, déterminer la limite de f ( x) lorsque le réel x tend
vers d . Le résultat est-il conforme avec celui obtenu pour la fonction E ?
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II.4.3. Cas d’une fonction continue par morceaux
II.4.3.1. Une limite
Étant donnés deux nombres réels C et E tels que 0 b C E , on considère l’intégrale
F ( x) ¨
E
C
sin( xt ) dt pour x ‰ >0, d< . Montrer que F ( x) On pose p la partie entière de
1
x
¨
Ex
Cx
sin u du .
Cx
Ex
Q
et q la partie entière de
. Pour x , donner
Q
Q
E C
un encadrement de F(x) en fonction de p, q et x.
En déduire que F(x) tend vers
2
E C lorsque le nombre réel x tend vers d .
Q
II.4.3.2. Limite de f ( x) dans le cas d’une fonction continue par morceaux
Si J est un intervalle de <0, d< et si f est une fonction continue par morceaux sur J
à valeurs réelles et telle que l’intégrale
¨
f (t ) dt existe, on note toujours :
J
f ( x ) ¨
f (t ) sin( xt ) dt .
J
Quelle est la limite de f ( x) lorsque le réel x tend vers d :
-
lorsque J est un segment de <0, d< et f une fonction en escalier ?
-
lorsque J est un segment de <0, d< et f une fonction continue par morceaux ?
-
lorsque J = <0, d< et f est une fonction continue par morceaux ?
Fin de l’énoncé
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