décembre 2001
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UNIVERSITE FRANÇOIS RABELAIS FACULTÉ DE DROIT, D'ÉCONOMIE ET DES SCIENCES SOCIALES Contôle Continu du 1er semestre Année 2001-2002 DEUG Économie-Gestion 2ère année Durée : 1 heure Calculatrice Autorisée : Casio FX 180P(+) Mathématiques Exercice 1 √ 1 3 On pose z = +i . 2 2 2 1) Mettre z et z sous forme trigonométrique. z 2 et z 2 − z ; z 4 − z 2 + 1 = 0. 2) Mettre sous forme cartésienne 3) Résoudre dans C Exercice 2 1) En écrivant Z arctan(x) dx 4 J= 1 Exercice 3 On pose f (x) = 1 √ dx x+ x sous la forme I= arctan(x) 1 dx, en utilisant le changement de variable calculer u= √ I. x. 1 . + 1) x2 (x 1) Déterminer 3 réels Z 2) En déduire z2 − z + 1 = 0 Z I= Z 2) Calculer : en déduire les solutions de a, b et c tels que 1 f (x) = a b c + + . 2 x x x+1 f (t) dt. K= 1/3 Exercice 4 1) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle Z 2) Calculer L= 0 π/4 tan(t) dt 1 + sin2 (t) x (1 − x2 )(1 + x2 ) en utilisant le changement de variable . x = sin(t). dans C. UNIVERSITE FRANÇOIS RABELAIS FACULTÉ DE DROIT, D'ÉCONOMIE ET DES SCIENCES SOCIALES Remplacement C.C. du 1er semestre Année 2001-2002 DEUG Économie-Gestion 2ère année Durée : 1 heure Calculatrice Autorisée : Mathématiques Exercice 1 −1 + i √ . 2 z2 . Mettre sous forme cartésienne z1 z2 , z1 Mettre sous forme trigonométrique z1 , z2 , z13 , z24 . π π En déduire cos( ) et sin( ). 12 12 On pose 1) 2) 3) √ 1 3 z1 = − + i 2 2 et z2 = Exercice 2 1) a) Calculer la dérivée de la fonction Z b) Calculer I= 3 Z 2) Calculer J= 1 √ x 7→ tan(x). x dx. cos2 (x) x−1 dx 1+x √ en utilisant le changement de variable Exercice 3 1) Développer, réduire et ordonner u= x−1 √ . 2 (x − 1)(1 + (x + 1)2 ). 2) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle x3 5 . + x2 − 2 Exercice 4 (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 . On pose z = eiθ = cos(θ) + i sin(θ). 1) Montrer que z z̄ = 1 puis que On rappelle que z + z̄ = cos(θ), z 2 + z̄ 2 = cos(2θ), 1 cos4 (θ) = (cos(4θ) + 4 cos(2θ) + 3). 8 Z 2) En déduire que π/2 3) Calculer cos4 (t) dt. K= 0 z 3 + z̄ 3 = cos(3θ). Casio FX 180P(+)