x x xxf + + - = 1 )1ln( )(

Exercice VII (SG)
On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle ]-1 ;+∞[ par :
f ( x)  x 
ln(1  x )
. La courbe représentative (C) de 𝑓 est donnée sur la figure suivante :
1 x
250
200
150
100
50
0
-0.98
-0.58
-0.18
0.22
0.62
1.02
1.42
1.82
2.22
2.62
3.02
3.42
3.82
4.22
4.62
5.02
5.42
-50
1) Calculer la dérivée de 𝑓, 𝑓’(𝑥) sur l’intervalle ]-1 ;+∞[.
2) Pour tout 𝑥 de l’intervalle ]-1 ;+∞[, on pose
𝑁(𝑥) = (1 + 𝑥)2 − 1 + ln( 1 + 𝑥).
Vérifier que l’on définit ainsi une fonction strictement croissante sur ]-1 ;+∞[. Calculer 𝑁(0). En
déduire les variations de 𝑓.
3) Soit (D) la droite d’équation 𝑦 = 𝑥. Calculer les coordonnées du point d’intersection de la courbe
(C) et de la droite (D).
4) Démontrer que si 𝑥 ∈ [0; 4], alors 𝑓(𝑥) ∈ [0; 4[.
5) On considère la suite (𝑈𝑛 ) définie par 𝑈0 = 4 et 𝑈𝑛+1 =𝑓(𝑈𝑛 ).
a- Calculer 𝑈1 , 𝑈2 et 𝑈3 .
b- Démontrer que pour tout entier naturel 𝑛 , 𝑈𝑛 ∈ [0; 4].
c- Démontrer que la suite (𝑈𝑛 ) est convergente. Utiliser les parties précédentes pour donner la
valeur de la limite de 𝑈𝑛 .