(u )et n u, v. w v u = − . (w ). (u )et n (u )et n (v ) . 2(2x 3x 2) f `(x) (x 1

Exercice1
On considère les deux suites (u n ) et (v n ) définies, pour tout entier naturel n, par :
u + vn
u + vn
u 0 = 3, v 0 = 4, u n +1 = n
et v n +1 = n +1
2
2
1. Calculer u1 , v1.
2. Soit la suite (w n ) définie pour tout entier naturel n par : w n = vn − u n .
1
a. Montrer que la suite (w n ) est une suite géométrique de raison .
4
b. Exprimer (w n ) en fonction de n et préciser la limite de la suite (w n ) .
3. a. Démontrer que la suite (u n ) est croissante et que la suite (v n ) est décroissante.
b. Déduire des questions précédentes que, pour tout n, u 0 ≤ u n ≤ v n ≤ v 0 .
c. Montrer que (u n ) et (v n ) convergent et qu'elles ont la même limite.
u + 2v n
4. On considère à présent la suite (t n ) définie, pour tout entier naturel n, par t n = n
.
3
a. Démontrer que la suite (t n ) est constante.
b. En déduire la limite des suites (u n ) et (v n ) .
Exercice 2
x(3x + 4)
. On note C la courbe représentative de f dans
x 2 +1
le plan rapporté à un repère orthonormé.
1. Calculer lim f et lim f .
Soit f la fonction définie par f (x) =
−∞
+∞
En déduire que la courbe admet une asymptote horizontale et préciser la position de la courbe
par rapport à cette asymptote.
−2(2x 2 − 3x − 2)
2. Calculer f ' (x) et montrer que f '(x) =
. Etudier le signe de f ' (x).
(x 2 + 1) 2
3. Faire le tableau de variations.
4. Donner une équation de la tangente au point d'abscisse 1.
Exercice 3
1. Faire le tableau de variations de f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 30 .
2. Démontrer que l'équation x 3 − 3x 2 − 9x + 30 = 0 admet une solution unique.
3. Utiliser la calculatrice pour donner un encadrement de largeur 10−3 de cette solution.