aa - methode de newton

AA - METHODE DE NEWTON
Le but de cette méthode est d’obtenir une valeur approchée d’une solution d’une équation de la forme
f (x) = 0
où f est une fonction assez régulière.
Soit f une fonction de classe C2 dans un intervalle [ a, b ] . On suppose que f ′ ne s’annule pas dans
cet intervalle, ce qui implique que f est strictement monotone, et que le nombre f (a)f (b) est strictement négatif, ce qui, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, assure l’existence d’un zéro pour la
fonction f , zéro qui sera unique en raison de la monotonie stricte de la fonction. Nous noterons ξ se zéro.
On prend comme valeur approchée de ξ l’abscisse u1 du point d’intersection de la tangente à la courbe
représentative de f au point A de coordonnées (a, f (a)) avec l’axe Ox. (On pourrait bien sûr faire la
même opération en partant de B de coordonnées (b, f (b))).
✻
B
a u1
)
ξ
A
L’équation de la tangente étant
y = f ′ (a)(x − a) + f (a) ,
on obtient
u1 = a −
f (a)
.
f ′ (a)
✲
b
AA 2
Notons Φ la fonction définie sur [ a, b ] par
Φ(x) = x −
f (x)
,
f ′ (x)
et posons
u0 = a .
On a donc
Φ(u0 ) = u1 .
Si u1 appartient à [ a, b ] , on peut réitérer le procédé et obtenir
u2 = Φ(u1 ) .
Donc, si [ a, b ] est stable par Φ, on obtient une suite (un )n≥0 définie par la relation de récurrence
Φ(un ) = un+1 .
Si cette suite converge vers une limite, c’est un point fixe de Φ. Mais l’équation
Φ(x) = x
est équivalente à l’équation
f (x) = 0 ,
et, puisque f a un zéro unique dans [ a, b ] , la suite (un ) converge vers ξ.
En fait l’existence de la suite (un ) est assurée dès que [ a, u ] est stable par Φ. C’est le cas en particulier
si f et f ′′ sont de même signe sur [ a, ξ ] . En effet dans ce cas
Φ′ (x) =
f (x)f ′′ (x)
f ′ (x)2
est positive. La fonction Φ est donc croissante. Alors
Φ( [ a, ξ ] ) = [ Φ(a), Φ(ξ) ] = [ Φ(a), ξ ] .
D’autre part, f (a) et f ′ (a) sont nécessairement de signes opposés et donc
Φ(a) > a .
Alors Φ( [ a, ξ ] ) et inclus dans [ a, ξ ] .
Dans ce cas la suite (un ) est strictement croissante et converge vers ξ.
Pour obtenir une majoration de l’erreur commise en remplaçant ξ par un , on utilise la formule de
Taylor. On a
0 = f (ξ) = f (un ) + (ξ − un )f ′ (un ) +
(ξ − un )2 ′′
f (vn )
2
AA 3
où vn appartient à l’intervalle ] un , ξ [ .
Par ailleurs
0 = f (un ) + (un+1 − un )f ′ (un ) .
Alors, par soustraction
0 = (ξ − un+1 )f ′ (un ) +
d’où l’on déduit
1 |f ′′ (vn )|
|ξ − un |2 .
2 |f ′ (un )|
|ξ − un+1 | ≤
Posons
1
M=
2
(ξ − un )2 ′′
f (vn ) ,
2
sup |f ′′ (x)|
x∈ [ a, b ]
inf
x∈ [ a, b ]
|f ′ (x)|
.
On a alors
|ξ − un+1 | ≤ M |ξ − un |2 ,
ou encore
(M |ξ − un+1 |) ≤ (M |ξ − un |)2 .
D’où l’on déduit la relation
(M |ξ − un+1 |) ≤ (M |ξ − u0 |)2
n+1
.
Donc, si a et b ont été choisis tels que,
T = M (b − a) < 1 ,
on obtient
1 2n
T ,
M
ce qui donne une majoration de l’erreur. On voit que la convergence de la suite (un ) est très rapide.
|ξ − un | ≤
Si l’intervalle de départ est trop grand, il se peut que T soit supérieur à 1 et il faut commencer par le
réduire en cherchant des valeurs a′ et b′ de [ a, b ] qui vérifient encore
f (a′ )f (b′ ) < 0 .
On peut commencer par appliquer une méthode de dichotomie pour réduire l’intervalle. Cela donne
aussi des valeurs approchées de ξ mais les suites obtenues convergent moins rapidement.
On construit deux suites (an ) et (bn ) de la manière suivante :
on prend
a0 = a
et b0 = b .
Si l’on suppose les suites construites jusqu’au rang n et vérifiant
f (an )f (bn ) ≤ 0
AA 4
on prend
an+1 = an
a n + bn
an+1 =
2
On a donc dans les deux cas
a n + bn
2
= bn
et bn+1 =
si f (an )f ((an + bn )/2) ≤ 0
et bn+1
si f (bn )f ((an + bn )/2) < 0
.
f (an+1 )f (bn+1 ) ≤ 0 ,
ce qui prouve que
an+1 ≤ ξ ≤ bn+1 ,
avec par ailleurs
|bn+1 − bn+1 | ≤
1
|an − bn | ,
2
d’où
|bn − an | ≤ 2−n (b − a) .
Il existe donc un entier n0 tel que
M |an0 − bn0 | ≤ M 2−n0 |b − a| < 1 ,
et l’on peut appliquer la méthode de Newton en partant de an0 .
Remarque : les suites (an ) et (bn ) convergent vers ξ, mais l’erreur commise en remplaçant ξ par an ou
bn est majorée par (b−a)2−n . La convergence est beaucoup moins rapide que par la méthode de Newton.