DS 2 Seconde Correction
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DS 2 Seconde Correction
Nom Prénom Devoir surveillé n°2 Seconde Exercice 1 La fonction f est représentée par la courbe Cf cici contre. 1°) Quel est le domaine de définition de f ? Domaine de définition de f : [-4 ;4] 2°) Quelle est l’image par f de 2 ? de –4 4? On a f(2)=3 et f(-4)=1 4)=1 par lecture graphique 3°) Donner les antécédents par f de 0. Il y a 3 antécédent par f de 0 : -2 ;-0,25 ; 3,5 4°) Construire le tableau de variation de f. x -4 -1,5 1,5 2 f(x) 1 3 -2,5 2,5 4 -1 5°) Résoudre graphiquement l’équation f(x)=–1 L’équation f(x) = -1 1 possède trois solutions car -1 a 3 antécédents par f : il s’agit de -2,5 ; -0,75 0,75 et 4 6°) Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) ⩽1 On trace la droite d’équation y=1 et les solutions de f(x) ⩽1 1 sont les abscisses des points de la courbe de f situés en dessous de la droite tracée. L’ensemble des solutions est donc [-4 ;0,25]U[3 ;4] Exercice 2 On considère une fonction f qui admet le tableau de variations suivant : x 0 2 3 6 f(x) –2 2 0 –5 10 0 1°) Quel est l'ensemble de définition de f ? L'ensemble de définition de f est [0 ;10] 2°) Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est-elle décroissante ? La fonction f est décroissante sur [0 ;2] et sur [6 ;10] 3°) Quel sont le maximum et le minimum de f sur son domaine de définition ? Le maximum de f est atteint pour x=6 et vaut f(6)=2 4°) Tracer une courbe représentative de f qui respecte les informations du tableau. La courbe tracée doit respecter les valeurs données dans le tableau ainsi que les variations de f. 5°) Comparer, en justifiant, f (6,5) et f (8). f est décroissante sur [6 ;10] et comme 6,5<8 alors f(6,5)>f(8) 6°) Comparer, en justifiant, l’image de 1 et celle de 7,2. 7,2 1∈[0 ;2] où f est négative sur cet intervalle 7,2∈[6 ;10] où f est positive sur cet intervalle On en déduit donc que f(7,2)>f(1) 7°) Donner un encadrement de f(x) sur [0 ; 2]. Justifier. x∈[0 ;2] où f est décroissante donc f(x)<f(0) )<f(0) et f(x)>f(2) Donc : -5<f(x)<-2 lorsque x∈[0 ;2] 8°) Quels sont les nombres dont les images par f sont positives ? Justifier. Les nombres de l’intervalle [3 ;10] ont leurs images positives. Si x∈[3 ;6] f(x)>f(3) car f croissante donc f(x)>0 et si x ∈[6 ;10] f(x)>f(10) car f décroissante donc f(x)>0. Sur l’intervalle [0 ;3] la fonction est négative. Exercice 3 Soit ABCD un parallélogramme quelconque. JJJJJJK 1°) Construire le point E tel que JJJJJK HI = LM Voir figure JJJJJK = ML JJJJJJK 2°) Construire le point F tel que PQ Voir figure 3°) Démontrer que D est le milieu des segments [AF] et [CE] JJJJJK = LM JJJJJJK = JJJJJK QP HI donc JJJJJK QP = JJJJJK HI ce qui montre que CFEA est un parallélogramme. Les diagonales de CFEA se coupent en leurs milieux donc [AF] et [CE] ont même milieu. JJJJJK = LQ JJJJJK = MP JJJJJK car ABCD et BCFD sont des parallèlogrammes D’autre part HM Donc D est le milieu de [AF] et donc aussi de [CE] JJJJJK + LQ JJJJJK JJJJJJK et HM 4°) Construire des représentants de JJJJJK HQ + LM JJJJJK + LM JJJJJK et de même HM JJJJJK + LQ JJJJJK =HP JJJJJK (on le voit sur le dessin mais ce n’est pas JJJJJJK = HP On trace par exemple HQ prouvé) JJJJJK + LQ JJJJJK JJJJJJK = HM 5°) Démontrer que JJJJJK HQ + LM JJJJJK + MQ JJJJJK + LQ JJJJJK + QM JJJJJK =HM JJJJJK + LQ JJJJJK JJJJJJK = HM La relation de Chasles permet d’écrire : JJJJJK HQ + LM JJJJJK = LQ JJJJJK 6°) Démontrer que JJJJJJK LM − LH JJJJJK = HL JJJJJK on toujours par la relation de Chasles LM JJJJJK = LM JJJJJK = HM JJJJJK JJJJJJK − LH JJJJJJK + HL En remarquant que −LH JJJJJK = LQ JJJJJK Et comme ABCD est un parallélogramme HM