Démonstration au format pdf - XMaths

Propriété
x
lim e = +∞
x→+∞ x
;
lim x ex = 0
x→–∞
C'est-à-dire que, au voisinage de l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur x.
Démonstration
• Justifions que e x ³ x pour tout x ∈ IR.
Pour cela considérons la fonction h définie par : h(x) = e x - x .
h est la somme de deux fonction dérivables; donc h est dérivable et h'(x) = e x - 1
On sait que si x £ 0 , on a e x £ 1
et si x ³ 0 e x ³ 1
On en déduit que h'(x) £ 0 pour tout x ∈ ]-∞ ; 0] et h'(x) ³ 0 pour tout x ∈ [0 ; +∞[ .
Donc h est décroissante sur ]-∞ ; 0] et h est croissante sur [0 ; +∞[.
On remarque que h(0) = e0 - 0 = 1 . En utilisant le sens de variation de h, on peut alors conclure :
Si x ∈ ]-∞ ; 0] , on a x £ 0 donc h(x) ³ h(0) ³ 0 donc e x - x ³ 0 c'est-à-dire e x ³ x
Si x ∈ [0 ; +∞[ , on a x ³ 0 donc h(x) ³ h(0) ³ 0 donc e x - x ³ 0 c'est-à-dire e x ³ x
On a donc démontré que pour tout réel x, e x ³ x .
x
• En appliquant la relation précédente à x, on obtient e 2 ³ x
2
2
En élevant au carré (les deux membres sont positifs), on obtient
x
2
³ x
donc e x ³
4
donc
On sait que lim x = +∞
x→+∞ 4
2
c'est-à-dire e
• Sachant que
donc
Donc
2
x2 .
4
On en déduit, pour x > 0
lim -xe x = 0+
lim x ex = 0
4
ex ³ x
x 4
x
lim e = +∞
x
x→+∞
x
lim e = +∞ , on peut en déduire que
x→+∞ x
x→-∞
 x22 x2
e  ³
et par conséquent
-x
lim e = +∞ c'est-à-dire
-x
x→-∞
lim
x→-∞
1 = +∞
-xe x
lim x ex = 0-
x→–∞
x→–∞
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