antilles?guyane juin 2005

Correction Bac ES – Antilles–Guyane juin 2005 – 5 points
Soit f une fonction dont le tableau de variations, incomplet
est le suivant ; on désigne par f ’ la fonction dérivée de la
fonction f .
On admet que f est définie sur ]–∞ ; –1[ ∪ ]–1 ; +∞[ par :
c
où a, b et c sont des réels.
f(x) = ax + b +
x+1
1) f ’(x) = a –
c
.
(x + 1)2
c
2) f(1) = 2 donc a + b + = 2 soit en multipliant par 2, 2a + 2b + c = 4.
2
c
f(–3) = –6 donc –3a + b – = –6, soit en multipliant par 2, –6a + 2b – c = –12.
2
c
f ’(1) = 0 donc a – = 0, soit en multipliant par 4, 4a – c = 0.
4
2a + 2b + c = 4
Donc, a, b et c sont solutions du système –6a + 2b – c = –12 . On trouve a = 1 ; b = –1 et c = 4.
4a – c = 0
4
Par suite, f(x) = x – 1 +
.
x+1
3)
4
= –∞. Par ailleurs, lim (x – 1) = –2
x
+
1
x → –1
x → –1
x → –1
Donc, par somme, lim – f(x) = –∞
∞.
lim – (x + 1) = 0– donc, lim
–
x → –1
lim (x – 1) = + et lim
x→+∞
x→+∞
4
= 0 donc, par somme, lim f(x) = + .
x+1
x→+∞
4
.
x+1
4
4
Par ailleurs, lim
= 0 et lim
= 0.
x→+∞ x + 1
x→−∞ x + 1
Donc, la droite D d’équation y = x – 1 est bien asymptote à f en + et en –∞
∞.
4
4
De plus,
> 0 si x ∈ ]–1 ; + [ et
< 0 si x ∈ ]–∞ ; –1[
x+1
x+1
Donc, f est en-dessous de D sur ]–∞
∞ ; –1[ et f est au-dessus de D sur ]–1 ; + [.
4) f(x) – (x – 1) =
5)
4
dx = F(2) – F(1) avec F(x) = 4ln(x + 1).
x
+
1
1
3
Par suite, 12 [f(x) – (x – 1)] dx = 4ln(3) – 4ln(2) = 4ln( ).
2
Cette intégrale représente l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan comprise entre
et les droites d’équations x = 1 et x = 2.
2
1
[f(x) – (x – 1)] dx =
2
f,
la droite D