Test 3 EXERCICE 1 : (2 points) f est de la forme u × v3 où u : x ↦→ x

Test 3
TS
2013-2014
EXERCICE 1 :
(2 points)
f est de la forme u × v 3 où u : x 7→ x et v : x 7→
√
x + 1.
Ces deux fonctions sont dérivables sur ]0; +∞[ et u′ : x 7→ 1, puis v ′ : x 7→
1
√ ._ En utilisant la dérivation d’un
2 x
produit, on a f ′ = u′ v 3 + u × 3v ′ v 2 .
√
√
√
1
3x √
Pour tout x > 0, f ′ (x) = 1 × ( x + 1)3 + 3 × x × √ × ( x + 1)2 = ( x + 1)3 + √ ( x + 1)2
2 x
2 x
√
3
5√
Finalement, après factorisation et simplification, pour x > 0, f ′ (x) = ( x + 1)2 ( x +
x + 1) .
2
2
EXERCICE 2 :
(2.5 points)
√
f = u avec u : x 7−→ x2 + x + 1. u est définie, dérivable, et strictement positive sur R. (discriminant négatif donc
expression du signe de a).
2x + 1
u′
.
f ′ = √ , ce qui donne pour tout x ∈ R, f ′ (x) = √
2 u
2 x2 + x + 1
1
f (−1) = 1, f ′ (−1) = − donc
2
1
1
1
y = f ′ (−1)(x + 1) + f (−1) ⇔ y = − (x + 1) + 1 ⇔ y = − x +
2
2
2
EXERCICE 3 :
(2.5 points)
Calculer la limite en +∞ de la fonction suivante
f (x) =
r
 (composition)
1−x
1 


r

lim
=
1 
1−x
x→+∞ −4x + 3
4


=
lim
√

1
x→+∞
−4x + 3
2


X=
lim

2
2
X→1/4


lim
=0
2
x→+∞ x
2
1−x
+ 2
−4x + 3 x
(somme)
lim f (x) =
x→+∞
1
2
EXERCICE 4 :
(3 points)
M :« Il pleut le matin »et S :« Il pleut le soir ».
1/3
S
b
M
1/6
b
S
2/3
b
b
1/6
5/6
S
b
5/6
My Maths Space
b
M
b
On a S = S ∩ M ; S ∩ M . En utilisant la formule des
probabilités totales :
p(S) = p(S ∩ M ) + p(S ∩ M )
= pM (S) × p(M ) + pM (S) × p(M )
1 1 1 5
= × + ×
3 6 6 6
1
5
=
+
18 36
7
p(S) =
36
S
1 sur 1