correction des problemes 85 et 93 p 194

CORRECTION DES PROBLEMES 85 ET 93 P 194
EX 85
1. On va pour cela étudier les variations de g ( x ) sur I = ] 0 ;+∞[ .
1
1
1
1
1
g’( x ) = - — . ——— – ———— = - ( ——— + ———— )
x2 1 + 1/x
( 1 + x)2
x2+x
( 1 + x)2
donc g’< 0 sur I et g strictement décroissante sur I.
Or lim g( x ) = 0 donc g( x ) ≥ 0
x → +∞
( Remarque : le texte dit strictement positif, on ne peut pas conclure ainsi puisqu’il s’agit
d’une limite)
ln ( 1 + 1/x)
2. a. φ( x ) = ——————
et lim 1/x = 0 donc par composition
1/x
x → +∞
On trouve
lim φ( x ) = 1.
x → +∞
x+1
b. φ( x ) = x ln ——— = xln( x + 1) – x ln x d’où lim φ( x ) = 0.
x
x→0
c. f est continue sur I et lim f ( x ) = f ( 0 ) donc f est continue en 0 càd sur R+.
x→0
d. f est dérivable sur I .
f( x )
lim —— = lim ln ( 1 + 1/x) = + ∞ par composition donc f non dérivable en 0
x→0 x
x→0
x>0
x>0
3. f ’( x ) = g( x ) donc f est strictement croissante sur R+.
EX 91 P 195
1. Si x non nul alors ex ≠ e0 soit ex ≠1.